Wahrscheinlichkeit und statistik urne mit kugeln

Question

Aufgabe:

Eine Urne enthält 12 Kugeln , 3 davon sind rot und die andern schwarz. Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit beim 4 maligen ziehen genau 2 rote Kugeln zu ziehen, einmal mit und einmal ohne zurücklegen. Erklären sie die Unterschiede in der Berechnung und im Ergebnis.

Problem/Ansatz:

Das ist eine Übung fürs Abitur. Wäre super wenn jemand den rechenweg zur Lösung dieser Aufgabe erklären würde.

Vielen Dank!!!!! Lg.

Answer 1

Aloha :)

12 Kugeln, 3 rote, 9 schwarze, 4-mal Ziehen, Ereignis genau 2 rote Kugeln

a) Ohne Zurücklegen

Von den 3 roten Kugeln müssen genau 2 gezogen werden, dafür gibt es $\binom{3}{2}$ Möglichkeiten. Von den 9 schwarzen Kugeln muss genau 1 gezogen werden, dafür gibt es $\binom{9}{1}$ Möglichkeiten. Das sind insgesamt $\binom{3}{2}\binom{9}{1}$ Möglichkeiten, bei denen das Eregins eintritt. Insgesamt gibt es $\binom{12}{4}$ Möglichkeiten, aus 12 Kugeln genau 4 auszuwählen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher:$$p_a=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}=\frac{\binom{3}{2}\binom{9}{1}}{\binom{12}{4}}=\frac{3\cdot9}{495}=\frac{3}{55}\approx5,\overline{45}\%$$

b) Mit Zurücklegen

Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel ist konstant $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel ist konstant $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit errechnet man daher mit der Binomialverteilung:

$$p_b=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^2=6\cdot\frac{1\cdot9}{4^4}=\frac{54}{256}=\frac{27}{128}\approx21,09375\%$$