Bestimme das Minimalpolynom des Jordan-Kastens

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, λ ∈ K und n ∈ ℕ. Bestimme das Minimalpolynom des Jordan-Kastens

λ	1			0
	λ	1
		...	...
			λ	1
0				λ

  ∈ K^nxn

  Hinweis: Beweise mit Induktion die Matrixdarstellung für (F-λI)^k  für k=1,...,n.

Problem/Ansatz:

Also das Minimalpolynom ist doch (T-λ)^k oder?

Ich verstehe nicht, was genau ich hier beweisen soll.

Bitte um einige Ansätze.Danke

Comments

Also das Minimalpolynom ist doch (T-λ)^k

Im MiPo der Matrix traucht also eine von der Matrix vollkommen unabhängige Zahl k auf?

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eeeh ich meinte hoch n

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Ja \(  (F-λI)^n = 0 \), jetzt musst du nur noch zeigen, dass \(  (F-λI)^k \neq 0 \) für \( k = 1,...,n-1\)

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Okay also, als Argumentation für das Mipo habe ich geschrieben, dass die gegebene Matrix nur den Eigenwert λ hat und dieser n-mal in der Matrix auftaucht, folgt unser Mipo, mit (F-λI)ⁿ  = 0.

Zu zeigen bleib dann : (F-λI)^k  ≠ 0 für k=1,..,n-1
Induktionsanfang: k=1:
F-λI =

0	1		0
	..	..
		..	1
0			0

und das ist ungleich 0. Also stimmt unser Induktionsanfang schonmal.
Induktionsschritt: k→k+1:
(F-λI)^k+1  = (F-λI)^k (F-λI) 

so und jetzt stecke ich fest, wie kann ich das ganze jetzt fortführen?

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Betrachte halt mal n = 2, 3, 4 und berechne \( (F-λI)^k \) für k=1,...,n. Entwickle dann eine eigene Idee wie \( (F-λI)^k \) für beliebiges n und k ≤ n aussieht.

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Okay, ich habe es so gemacht und habe auch eine Idee dazu gefunden. Die 1en in der Nebendiagonalen rutschen bei jedem k+1 eine Stelle weiter nach rechts, bis wir bei k=n-1 nur noch eine einzige 1 oben rechts in der Matrix haben.

Aber wie kann ich das am besten als Beweis notieren?

Ich habe jetzt, wie du gesagt hast für k=1,2,3,4 die Matrizen berechnet und analog zu denen auch die Matrix für k=n-1. Kann ich das dann so stehen lassen?

Natürlich noch mit der Notation des Induktionsschritts, wie oben geschrieben..