Z.z. Am und Bm sind ähnlich und z.z. f(A) und f(B) sind auch ähnlich

Question

Hallo, ich habe ein Problem bei deiser Aufgabe:

a) Ist m∈ℕ und sind A und B ähnlich, so sind auch A^m und B^m ähnlich.

b) Sind A und B ähnlich, so sind auch f(A) und f(B) ähnlich.

Problem/Ansatz:

Ich kenne alle Bedingungen wann zwei Mat. ähnlich sind, aber ich weiß nicht wie ich es hier anwenden soll.

Bei der a) hatte ich erst die Idee es mit Induktion zu zeigen, aber ich weiß nicht wie ich das aufschreiben soll.

Bei der b) vielleicht wie bei der Injektiviät?

Ich hoffe, dass mir jemand weiter helfen kann. :)

Answer 1

Hallo,

a) Sei $A \approx B$, dann existiert ein $S \in \operatorname{GL}(n,K)$ mit $B = S^{-1} A S$. Wir zeigen per Induktion, dass $B^m = S^{-1} A^m S$ für alle $m \in \mathbb{N}$ gilt.

Induktionsanfang: $m = 1$: klar

Induktionsschritt: $$B^{m+1} = B^m \cdot B \stackrel{\text{IV}}{=} S^{-1} A^m S B = S^{-1} A^m \underbrace{S S^{-1}}_{=I} A S = S^{-1} A^{m+1} S$$

Somit gilt aber auch für alle $m \in \mathbb{N}$, dass $A^m \approx B^m$.

b) Ich nehme an $f$ soll ein Polynom sein? Falls ja: Sei auch hier $A \approx B$, dann existiert wieder ein $S \in \operatorname{GL}(n,K)$ mit $B = S^{-1} A S$.

Sei jetzt $f= \sum_{i=0}^n f_i x^i$, dann ist $$\begin{aligned} f(B) &= f_n B^n + \dotsm + f_1 B + f_0 I \stackrel{\text{(a)}}{=}f_n S^{-1} A^n S + \dotsm + f_1 S^{-1} A S + f_0 S^{-1} I S \\ &= S^{-1} (f_n A^n + \dotsm + f_1 A + f_0 I) S = S^{-1} f(A) S \end{aligned}$$

also $f(A) \approx f(B)$.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! :)

Genau bei b) sollte f ein Polynom sein :)

---

Sehr gut, dann passt ja alles. Danke für den Stern!