Aloha :)
Die ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein. Die Zahl ohne \(x\) ist die \(2\), ihre Teiler sind \(\pm1,\pm2\). Wir probieren diese Teiler durch und finden Nullstellen bei \(x=1\) und \(x=-2\). Das Polynom ist also durch \(x-1\) und \(x+2\) teilbar. Wir dividieren daher das Polynom durch \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\) und finden:$$(x^4+3x^3-x^2-5x+2):(x^2+x-2)=x^2+2x-1$$Das heißt:$$x^4+3x^3-x^2-5x+2=(x-1)(x+2)(x^2+2x-1)$$Die Nullstellen des verbliebenen Polynoms finden wir mit der pq-Formel:$$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-(-1)}=-1\pm\sqrt2$$Also haben wir 4 reelle Nullstellen:$$x_1=-1-\sqrt2\quad;\quad x_2=-1+\sqrt2\quad;\quad x_3=1\quad;\quad x_4=-2$$
