Besitzt die Differentialgleichung mit dem Anfangswert eine eindeutige Lösung?

Question

Aufgabe:

Besitzt die Differentialgleichung
mit dem Anfangswert eine eindeutige Lösung?

Problem/Ansatz:

Besitzt die Differentialgleichung
y' = 3(y − 1)^(2/3)
mit dem Anfangswert
y(0) = 1
eine eindeutige Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort.

Kann mir bitte jemand Tipps zu dieser Aufgabe geben oder wie man diese Frage richtig löst?

Answer 1

Hallo,

Es gibt 2 Möglichkeiten:

a) Berechnung der Lipschitz - Konstante, wenn diese existiert ,dann gibt es eine eindeutige Lösung, sonst nicht.

(via Mittelwertsatz der Integralrechnung z.b.)

b) durch Berechnung "Trennung der Variablen"

Es gibt 2 Lösungen:

y=1 und y=x^3+1 , also nicht eindeutige Lösung.

Answer 2

Es gibt unendlich viele Lösungen. Z.B.

$$ y_a(x) = \begin{cases}   1  & \text{wenn } 0 \le x \le a \\   (x-a)^3 +1 & \text{wenn } x \ge a \end{cases} $$