Stationäre Verteilung Matrizen

Question

Aufgabe:

Existiert eine stationäre Verteilung ? Berechnungsmethoden ? Erläutern Sie die Gleichung (M-E) * v = 0. Formen Sie diese um.

M=

0,2	0,1
0,8	0,9

V=

10

90

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht klar, wie die Umformung der Gleichung (M-E) * v = 0 aussehen soll und wie man damit dann die stationäre Verteilung rechnet.

Ich würde es so machen:  

M¹⁰⁰ * v =

11,111

88,888

Vielleicht kann mir wer da weiterhelfen? :)

Answer 1

Existiert eine stationäre Verteilung

Ja. Jede stochastische Matrix hat eine stationäre Verteilung.

Berechnungsmethoden ?

Ergibt sich direkt aus der Definition

(1)        M·v = v

einer stationären Verteilung v der Matrix M.

Erläutern Sie die Gleichung (M-E) * v = 0

Wegen E·v = v kann auf der rechten Seite von (1) das v durch E·v ersetzt werden. Die resultierende Gleichung kann mittels Rechengesetzen für Matrizen und Vektoren zu

(2)        (M-E)·v = 0

umgeformt werden.

Mir ist nicht klar, wie die Umformung der Gleichung (M-E) * v = 0 aussehen soll

Mir auch nicht. Umformungen haben ein Ziel. Das Ziel wurde nicht genannt.

und wie man damit dann die stationäre Verteilung rechnet.

Man erstellt aus (2) ein lineares Gleichungssystem und löst es.

Ich würde es so machen:

M¹⁰⁰ * v = ...

Das sieht aus als ob du eine Grenzverteilung schätzen möchtest. Das funktioniert in diesem Fall, weil jede Grenzverteilung eine stationäre Verteilung ist und eine Grenzverteilung in diesem Fall existiert.

Answer 2

Aloha :)

Eine stationäre Verteilung $\vec v_s$ ändert sich nicht mehr, wenn die Übergangsmatrix $\mathbf M$ auf sie angewendet wird, das heißt formal:$$\mathbf M\cdot\vec v_s=\vec v_s$$Zur Berechnung von $\vec v_s$ kann man diese Gleichung wie folgt umformen:

$$\left.\mathbf M\cdot\vec v_s=\vec v_s\quad\right|\;\vec v_s=\mathbf1\cdot\vec v_s$$$$\left.\mathbf M\cdot\vec v_s=\mathbf 1\cdot\vec v_s\quad\right|\;-\mathbf1\cdot\vec v_s$$$$\left.\mathbf M\cdot\vec v_s-\mathbf 1\cdot\vec v_s=\vec 0\quad\right|\;\text{Distributivgesetz für Matrizen}$$$$\left.\left(\mathbf M-\mathbf 1\right)\cdot\vec v_s=\vec 0\quad\right.$$Damit können wir die stationäre Lösung bestimmen:

$$\left(\mathbf M-\mathbf 1\right)\cdot\vec v_s=\left(\begin{pmatrix}0,2 & 0,1\\0,8 & 0,9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\right)\cdot\vec v_s=\begin{pmatrix}-0,8 & 0,1\\0,8 & -0,1\end{pmatrix}\cdot\vec v_s\stackrel{!}{=}0$$$$\begin{array}{r}x_s & y_s & = & \text{Operation}\\\hline-0,8 & 0,1 & 0 & +\text{Zeile }2\\0,8 & -0,1 & 0\\\hline0 & 0 & 0 & \\0,8 & -0,1 & 0\end{array}$$Wir erhalten also die Forderung:$$0,8x_s-0,1y_s=0\quad\Leftrightarrow\quad0,1y_s=0,8x_s\quad\Leftrightarrow\quad y_s=8x_s$$Da es sich um eine Verteilung handelt, muss weiter $x_s+y_s=1$ gelten, sodass:$$1=x_s+y_s=x_s+8x_s=9x_s\quad\Rightarrow\quad x_s=\frac{1}{9}\quad\Rightarrow\quad y_s=\frac{8}{9}$$Die gesuchte stationäre Verteilung ist also:$$\vec v_s=\binom{1/9}{8/9}$$