Integrale von Vektoren und Kurven berechnen

Question

gegeben:

\( \vec{v} \) : R² → R² mit \( \vec{v} \) (x,y) = \( \begin{pmatrix} y\\0 \end{pmatrix} \) ,

sowie die Kurven

\( \vec{x} \) : [0, π/2] → R²,t ↦ \( \begin{pmatrix} cos(t)\\sin(t) \end{pmatrix} \)   

\( \vec{y} \) : [0,1] → R²,t ↦ \( \begin{pmatrix} 1-t\\t \end{pmatrix} \)

Zu berechnen sind die Integrale

\( \int\limits_{\vec{x}} \)  \( \vec{v} \) \( \vec{ds} \)

und

\( \int\limits_{\vec{y}} \)  \( \vec{v} \) \( \vec{ds} \)

Answer 1

Zu (1):$$\int_{0}^{\pi /2}\left \langle \begin{pmatrix} \sin(t)\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\sin(t)\\\cos(t) \end{pmatrix} \right \rangle \, dt=-\int_{0}^{\pi /2}\sin^2(t) \, dt=-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi /2} 1+\cos(2t)\, dt=-\frac{1}{2}\cdot \left [t+\frac{1}{2}\sin(2t) \right]_0^{\pi/2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin(\pi)-0+\frac{1}{2}\sin(0)\right)=-\frac{\pi}{4}$$ (2) geht analog.