Zurückgelgete Strecke als Cauchyprodukt

Question

Ein Wurm ist in einen 4 Meter tiefen Brunnen gefallen. Bei dem Versuch, wieder herauszuklettern, schafft er am ersten Tag einen Meter. Den zweiten Tag teilt sie sich in zwei Etappen ein, schafft aber pro Etappe nur q Meter (0 < q < 1). Am dritten Tag schafft sie drei Etappen mit jeweils q² Kilometern, am vierten Tag vier Etappen mit q³ Metern usw. Wie groß muss q mindestens sein, damit die Schnecke wieder aus dem Brunnen findet?

Answer 1

Die zurückgelegte Strecke kann man wohl eher als Potenzreihe als Cauchyprodukt darstellen. Nach \(n\) Tagen hat der Wurm (oder die Schnecke) eine Strecke der Länge \(s=\sum\limits_{k=1}^nk\cdot q^{k-1}\) zurückgelegt. Bekanntlich gilt \(s<\frac1{(1-q)^2}\) für \(0 < q < 1\). Daraus folgt, dass \(q>\frac12\) sein muss.

Comments

Wie komme ich auf q<1/2 ?!