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Aufgabe:

Die Spur einer n×n-Matrix A ist definiert durch

Spur A = n∑k=1 akk.

a)  Geben Sie ein Beispiel für A,B∈M(n,K) an mit Spur(AB) ≠ Spur(A)·Spur(B).

b)  Zeigen Sie, dass für alle A,B∈M(n,K) gilt Spur(AB) = Spur(BA).

c)  Folgern Sie aus b), dass ähnliche Matrizen und somit alle Matrixdarstellungen eines Endo-morphismus L:V→V dieselbe Spur haben, die wir dann ebenfalls mit Spur L bezeichnen.

d)  Seien nun m Matrizen A1,...,Am ∈ M(n,K) gegeben. Folgern Sie aus b), dass Spur(A1A2···Am) = Spur(AmA1···Am−1).Man sagt dazu, die Spur sei invariant unter zyklischer Vertauschung der Faktoren.

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zur a)

Seien A, B \epsilon M(n, K) mit

A = (2 0 0     und B = (4 0 0

       0 2 0                    0 4 0

       0 0 2)                   0 0 4)

--> Spur(A) = 2+2+2=6 und Spur (B) = 4+4+4=12

Dann ist A*B = (8 0 0

                          0 8 0

                          0 0 8)

--> Spur (A*B) = 8+8+8 = 24

--> Spur (A) * Spur (B) = 6*12=72

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