Bestimmen Sie MC(f) und die Basiswechselmatrizen MCB(id) und MBC(id).

Question

Aufgabe:

Im Q-Vektorraum Q3 seien B = (e1, e2, e3) die Standardbasis und c1=(1 0 0)
c2 = 1-1 0,c3 = 1-1-1,
Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass C = (c1, c2, c3) eine Basis von Q3 bildet. Es sei f : Q3 → Q3 die eindeutige lineare Abbildung mit
f(c1) = c2, f(c2) = c3, f(c3) = c1.
(a) Bestimmen Sie MC(f) und die Basiswechselmatrizen MCB(id) und MBC(id).

(b) Berechnen Sie A = MB(f) ausgehend von den Ergebnissen aus (a).
(c) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie A · ci berechnen.

Answer 1

$$ MC(f) =   \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1&0 & 0 \\ 0&1 & 0\end{pmatrix}$$

Die Basiswechselmatrizen sind :

$$ MCB(f) =   \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0&-1 & -1 \\ 0&0 & -1\end{pmatrix}$$

$$ MBC(f) =   \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0&-1 & 1 \\ 0&0 & -1\end{pmatrix}$$

Und damit ist A=MCB(f)*MC(f) *MBC(f)=

1      0        0
-1     0      -1
0      1       -1