Zu (1) würde ich so vorgehen:
φ((v1⊗w1)+(v2⊗w2))=(v1+w1)+(v2+w2)=φ(v1⊗w1)+φ((v2⊗w2)φ(λ(v⊗w))=λ(v+w)=λφ(v⊗w)
Damit ist die Aussage (1) richtig.
Eventuell müsstest du die 4 Vektoren noch in Spaltendarstellung hinzufügen.
Bei (2) gehst du dann analog vor.
Das erscheint mir allerdings ziemlich einfach. Vielleicht schaut ja noch jemand anders drüber.
Klar:
(2)
φ(((v1v2)⊗(w1w2))+((r1r2)⊗(s1s2)))=(v1w1+v1w2−2v2w2)+(r1s1+r1s2−2r2s2)=φ(((v1v2)⊗(w1w2))+φ(((r1r2)⊗(s1s2))
Hier habe ich die Vektoren v, w, r und s genannt um doppelte Indizes zu vermeiden.
φ(λ((v1v2)⊗(w1w2)))=λ(v1w1+v1w2−2v2w2)=λφ((v1v2)⊗(w1w2))
Sollte eigentlich passen, da du ja im Bereich der reellen Zahlen abbildest. Damit gelten Kommutativ-, Distributiv- und Assoziativgesetz. Somit hättest du nachgewiesen, dass diese Abbildungen additiv und homogen sind und damit lineare Abbildungen. Falls noch Fragen sind, melde dich einfach.