Grenzwert und Stetigkeit

Question

Aufgabe:

bestimmen sie für die Funktion: xy^2/x^2+y^4

für x^2+y^4 >0

für x^2+y^4=0

1.

für x einsetzen:( -1/n)

für y= 1/2n

2.

x= 1/n

y=1 durch 2*(wurzel(n))

den Grenzwert und ob die fkt stetig ist

Problem/Ansatz: habe für 1. die folgenden lsg eingesetzt da kam raus: -1/32n^2 durch 5/16*2n = -1/32n^2*6/16*2n= (-5/512)*n^3 ist meine funktion richtig? wenn es falsch wäre es gut wenn ich die rechenschritte vergleichen kann: danke im Voraus

ich habe dann heraus gefunden dass die funktion stetig ist mit dem folgekriterium und die funktion besitzt einen Grenzwert von 5 ist das richtig? für 2. weiß ich das nicht wie es machen soll.

Comments

Es soll sicher heißen
f (x,y) = (x*y^2) / (x^2+y^4)

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Ja genau ist ein Bruch

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Oder so:  \(\displaystyle f(x{,}y)=\begin{cases}\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}&\text{, falls }(x{,}y)\ne(0{,}0)\\0&\text{, sonst}\end{cases}\)  ?

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Die Fkt ist richtig aber

Das steht  Unmittelbar neben der Funktion

Für x^2+y^4>0

Für x^+y^4=0

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Das macht keinen Unterschied, denn \(x^2+y^4=0\) gilt nur für \((x{,}y)=(0{,}0)\).
Die Funktion ist aber nicht stetig, denn z.B. ist \(f\left(\frac1{n^2}{,}\frac1n\right)=\frac12\) für alle \(n\in\mathbb N\).

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Okay dann habe ich’s falsch gemacht! Schade. Könntest du’s mir bitte zeigen wie du den Grenzwert und die stetigkeit berechnet hast? Danke

Answer 1

Wähle die Nullfolgen \(x_n=\frac1{n^2}\) und \(y_n=\frac1n\). Es gilt dann$$f(x_n{,}y_n)=\frac{\frac1{n^2}\cdot\frac1{n^2}}{\frac1{n^4}+\frac1{n^4}}=\tfrac12.$$Wg.\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n{,}y_n)=\tfrac12\ne0=f(0{,}0)\) liegt keine Stetigkeit in \((0{,}0)\) vor.

Comments

Ah danke! Für die 2 auch nach dem gleichem Schema?

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Genau\(  \).

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wie bist du auf 1/2 gekommen? habe es nachgerechnet und habe 1 heraus

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habe jetzt auch das heraus vielen dank für deine hilfe

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wäre mein yn für 1/2*wurzel aus n

das gleiche aber in der wurzel mit n^4 statt n?

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warum hast du die stetigkeit nicht mit dem folgekriterium gemacht?

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Mit \(x_n=\frac1n\) und \(y_n=\frac1{2\sqrt n}\) gilt \(f(x_n{,}y_n)=\dfrac{\frac1n\cdot\frac1{4n}}{\frac1{n^2}+\frac1{16n^2}}=\frac4{17}\).
Dieses Kritierium habe ich oben verwendet. Der Grenzwert stimmt nicht mit dem Funktionswert überein, d.h. unstetig.

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ich glaube du hast falsch eingesetzt