Ermitteln Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme:

a) x' = 1/2( x^3+t^2/x + 2xt - 1/x) , x(0) = 1.

b) x' = - tan(t)x + sin(t) , x(0) = 5.

Answer 1

Hallo,

Aufgabe b) Lösung via Variation der Konstanten, wie auch a

b) x' = - tan(t)x + sin(t) , x(0) = 5.

x' = - tan(t)x + sin(t) 

1. Homogene DGL:

x' + tan(t)x  =0

dx/dt +tan(t) x=0

dx/x= - tan(t) +C

ln|x| = ln|cos(t)|+C

x_h= C₁ cos(t)

2. C₁=C(t)

x_p= C(t) cos(t)

xp' = C'(t) cos(t) -C(t) sin(t)

3. Setze yp und yp' in die DGL ein und vereinfache:

C'(t) *cos(t)= sin(t)

C(t)= -ln|cos(t)|

4.xp= C(t) cos(t) = -ln|cos(t)| *cos(t)

5. x=xh+xp

6. AWB einsetzen ;x(0)=5

C₁=5

Lösung:

x=5  cos(t) -ln|cos(t)| *cos(t ) cos(t) kann noch ausgeklammert werden