mit Hilfe des Grenzwertes einer Zahlenfolge, dass 2 der Grenzwert von {an}n∈N, an = 2n2-n / n2+2 , ist.

Question

Zeigen Sie mit Hilfe der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge, dass 2

der Grenzwert von {an}n∈N, an = 2n²-n / n²+2 , ist.

Problem/Ansatz:

Lösung bitte. Dankeschön!

Answer 1

Du sollst für jedes $\varepsilon>0$ ein $N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}$ finden, sodass für alle $n\geq N_{\varepsilon}, n\in \mathbb{N}$ die Abschätzung $|a_n-g|<\varepsilon$ gilt, wobei $g$ der Grenzwert von deiner Folge $a_n$ ist.

Vorarbeit/Schmierarbeit:

Dein $N_{\varepsilon}$ ist also von der Wahl deines $\varepsilon>0$ abhängig. Es empfielt sich, zunächst mit der Abschätzung zu beginnen, weil man so sehen kann, wie das $N_{\varepsilon}$ zu wählen ist.

Es gilt also zunächst:

$\Big| \frac{2n^2-n}{n^2+2}-2\Big|=\Big|\frac{2n^2-n-2n^2-4}{n^2+2} \Big|=\Big|\frac{4+n}{n^2+2} \Big|\leq \Big|\frac{4+n}{n^2} \Big|\leq \Big|\frac{n+n}{n^2}\Big| =\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}\stackrel{!}{<} \varepsilon$.

Beim ,,!" hat man noch das Problem, wie das $N_{\varepsilon}$ gewählt sein muss, sodass per Definition $\frac{2}{n}< \varepsilon$ für alle $n\geq N_{\varepsilon}$ gilt. Mit $n\geq N_{\varepsilon}$ hat man auch $2n\geq 2N_{\varepsilon}$ bzw. $\frac{2}{N_{\varepsilon}}\geq \frac{2}{n}$. Betrachte jetzt $\varepsilon >\frac{2}{N_{\varepsilon}}\geq \frac{2}{n}$. Damit das gilt, muss doch $\frac{2}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}$ gelten, denn dann hat man ja $\frac{2}{n}\leq \frac{2}{N_{\varepsilon}}<\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}}=2\cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$ Und da haben wir es! $N_{\varepsilon}$ konnte aber auch deshalb so gewählt werden, da man nach dem Archimedischen Prinzip für jede relle Zahl $x$ eine natürliche Zahl $m$ finden kann mit der Eigenschaft $x<m$.

Jetzt musst du das alles nur noch in einen hübschen Beweisverlauf schreiben:

Sei $\varepsilon>0$ beliebig. Dann kann nach dem Archimedischem Prinzip zur reellen Zahl $\frac{2}{\varepsilon}$ ein $N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}$ gefunden werden mit der Eigenschaft $\frac{2}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}$. Dann gilt für alle $n\geq N_{\varepsilon}, n\in \mathbb{N}$ die Abschätzungskette:

$\Big| \frac{2n^2-n}{n^2+2}-2\Big|=\Big|\frac{2n^2-n-2n^2-4}{n^2+2} \Big|=\Big|\frac{4+n}{n^2+2} \Big|\leq \Big|\frac{4+n}{n^2} \Big|\leq \Big|\frac{n+n}{n^2}\Big| =\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}\leq \frac{2}{N_{\varepsilon}}<\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}}=2\cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$.

Da $\varepsilon>0$ beliebig war, folgt also $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n^2-n}{n^2+2}=2.$