Alle Punkte bestimmen, in denen die Funktion differenzierbar ist

Question

Bestimmen Sie alle Punkte x∈ℝ in denen f(x)=x|x| differenzierbar ist.

Habe bisher leider nur Aufgaben gesehen wo man prüfen soll, ob f in einem bestimmten Punkt x₀ differenzierbar ist. Aber ich weiß leider nicht, wie man selbst auf diese Punkte kommt.

Answer 1

Für \(x>0\) ist \(f(x)=x^2\). Für \(x<0\) ist \(f(x)= -x^2\). Bekanntlich ist \(f\) differenzierbar auf jedem der einzelnen offenen Teilintervalle. Es bleibt, die Differenzierbarkeit an der Stelle \(x_0=0\) zu untersuchen. Dazu betrachte den Differenzenquotienten$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{h\cdot\vert h\vert-0\cdot\vert0\vert}h=\vert h\vert.$$Bekanntlich existiert der Grenzwert \(\lim\limits_{h\to0}\vert h\vert\) und es ist \(f^\prime(0)=0\). Es ist also \(f\) differenzierbar auf ganz \(\mathbb R\).

Answer 2

Du brauchst eine Fallunterscheidung für x≥0 und x<0. Dann kannst du die Definition anwenden.

Comments

Unsere Definition bezieht sich auch auf einen Punkt x₀ ich weiß leider nicht wie eine Fallunterscheidung mich da weiter bringt..