Muss es nicht für alle Folgen gelten?

Question

Hi, ich habe diesen Satz in einem anderen Forum gefunden:

$f$ ist stetig in (0,0) genau dann wenn für jede Folge $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ mit $\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow(0,0)$ auch $f\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow f(0,0)$ geht.

Tipp: Versuche mal die Folge $x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}$

Aber wenn ich es mit 1/ n zeige, habe ich es ja nur für eine Folge gezeigt. Muss es nicht für alle gelten?

Answer 1

Aber wenn ich es mit 1/ n zeige, habe ich es ja nur für eine Folge gezeigt. Muss es nicht für alle gelten?

Ja, allerdings reicht ein Gegenbeispiel, um die Unstetigkeit zu beweisen. Vielleicht handelt es sich in diesem Fall um eben dieses.

Comments

Danke, also habe ich es richtig verstanden, dass es reicht, wenn ich Stetigkeit mit dieser einen Folge zeigen will? Und für Unstetigkeit würde dann ein konkretes Gegenbeispiel genügen?

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Nein, dieser Satz ist korrekt

$f$ ist stetig in (0,0) genau dann wenn für jede Folge $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ mit $\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow(0,0)$ auch $f\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow f(0,0)$ geht.

Wenn f in (0,0) genau dann stetig ist, wenn jede Folge der oben genannten Bauart, die geforderten Eigenschaften erfüllt, dann reicht es, um zu zeigen, dass f nicht stetig in (0,0) ist, eine Folge zu finden, die die obigen Bedingungen nicht erfüllt. Denn dann gibt es ja einen Ausreißer und nicht mehr JEDE Folge erfüllt das.

In der Logik gilt mit einer Aussage $A(x)$, dass $¬(\forall x : A(x))$ äquivalent zu $\exists x : ¬A(x)$.

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Okay, vielen vielen Dank:)

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Hast du die Folge, die da vorgeschlagen wurde, schon mal als potentiallen Anwärter als Ausreißer-Folge getestet? Vielleicht ist das ja genau das gesuchte Gegenbeispiel.

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Hey nein, habe dass da nicht vorgeschlagen. ich hatte den Satz nur (bis du mich darüber aufgeklärt hast) so verstanden, dass es reicht das für eine Folge zu zeigen:)