Integral berechnen (Analysis)

Question

Gegeben seien

$$D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq y \leq 1-x^{2} \wedge|x+y+z| \leq 1\right\} \quad \text { und } \quad f(x, y, z)=x^{2} y$$
(a) Berechnen Sie $V \circ I_{3}(D)$
(b) Berechnen Sie das Integral $\int \limits_{D} f(x, y, z) d(x, y, z)$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Volumen VoI3 /Integral berechnen

Stichworte: volumen,integral,rotationskörper,extremwertaufgabe,rotationsvolumen

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten die Funktion $f:[2,7] \rightarrow[0, \infty[, \quad f(x)=\sqrt{2 x-4}$
Sei $R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}: y^{2}+z^{2} \leq f(x)^{2}\right\}$ der Rotationskórper, der entsteht, wenn Graph $(f)$ um die $x$ - Achse rotiert.
(a) Machen Sie eine Skizze von Graph(f) und von $R$.
(b) Berechnen Sie das Volumen $\mathrm{Vol}_{3}(R)$
(c) Berechnen Sie das Integral $\int \limits_{R}(x+y) d(x, y, z)$

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Sieht die redigierte Frage so aus, wie du das haben wolltest? Sehe gerade nicht, ob alles exakt gleich ist.

Wie ist der Tag "Ursprung" zu verstehen?

Meintest du Betrag?

Answer 1

Aloha :)

Mir ist bei Teil (a) nicht klar, was $I_3(D)$ sein soll. Wie habt ihr das im Unterricht definiert?

Bei Teil (b) können wir das Integral direkt berechnen. Dazu müssen wir jedoch zunächst die Menge $D$ etwas anders parametrisieren:$$0\le y\le 1-x^2\quad\Leftrightarrow\quad -1\le x\le 1\;\;;\;\;0\le y\le1-x^2$$$$|x+y+z|\le1\quad\Leftrightarrow\quad-1\le x+y+z\le1\quad\Leftrightarrow\quad-1-x-y\le z\le 1-x-y$$Damit haben wir die Integrationsintervalle$$x\in[0\;;\;1]\quad;\quad y\in[0\;;\;1-x^2]\quad;\quad z\in[-1-x-y\;;\;1-x-y]$$und können das Integral hinschreiben:$$I_b=\int\limits_Dx^2y\,dx\,dy\,dz=\int\limits_{-1}^1dx\int\limits_{0}^{1-x^2}dy\int\limits_{-1-x-y}^{1-x-y}dz\,x^2y$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_{-1}^1dx\,x^2\int\limits_{0}^{1-x^2}dy\,y\int\limits_{-1-x-y}^{1-x-y}dz=\int\limits_{-1}^1dx\,x^2\int\limits_{0}^{1-x^2}dy\,y\left[z\right]_{-1-x-y}^{1-x-y}$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_{-1}^1dx\,x^2\int\limits_{0}^{1-x^2}dy\,y\left[(1-x-y)-(-1-x-y)\right]$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_{-1}^1dx\,x^2\int\limits_{0}^{1-x^2}dy\,2y=\int\limits_{-1}^1dx\,x^2\,\left[y^2\right]_{0}^{1-x^2}=\int\limits_{-1}^1dx\,x^2(1-x^2)^2$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_{-1}^1dx\,x^2(1-2x^2+x^4)=2\int\limits_0^1\left(x^2-2x^4+x^6\right)dx=2\left[\frac{x^3}{3}-\frac{2x^5}{5}+\frac{x^7}{7}\right]_0^1$$$$\phantom{I_b}=2\cdot\frac{5\cdot7-2\cdot3\cdot7+3\cdot5}{105}=\frac{16}{105}$$

Comments

Dankeschön für die b.).. Die a. ) war nach dem Volumen gefragt.. Eig. Sollte das Vol 3 von D heißen.. :)

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Achso... kriegst du das Volumen denn alleine hin? Es ist im Prinzip dasselbe Integral wie bei (b), nur ohne $x^2y$ als Integrand...

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Ja kriege ich hin...Dankeschön

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Könnte jemand die a) mit dem Volumen nochmal vorrechnen? Komme nicht so ganz dahinter :/