Finden Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung (zweiter ordnung)

Question

Eine Lösung der linearen skalaren Differentialgleichung zweiter Ordnung
$$ t y^{\prime \prime}+(1-2 t) y^{\prime}+(t-1) y=0 $$
ist \( y_{1}(t)=\mathrm{e}^{t} \). Finden Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.

Wie kann ich diese Frage lösen?

Answer 1

Hallo,

diese DGL kannst Du mit dem Reduktionsverfahren von d'Alembert lösen.

Ansatz:

y= μ y₁ = μ e^t

y'= μ' e^t +μ e^t

y'' =μ '' e^t +2 μ' e^t +μ e^t

das setzt Du in die DGL ein und bekommst:

t μ '' e^t +μ 'e^t =0 |:e^t (≠0)

t μ ''  +μ ' =0

Setze : w = μ ' und w'= μ ''

tw' +w=0

t *dw/dt = -w Trennung der Variablen

dw/w= -dt/t

w= C₁/x =μ '

μ=C₁ ln|x| +C₂

------->

y=  μ e^t =( C₁ ln|x| +C₂)e^t

Lösung:

y=C₂ e^t +C₁ e^t ln|t|