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Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem bzw, eine Fundamentalmatrix zur linearen homogenen Differentialgleichung
$$ \begin{array}{r} \vec{y}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} 2 t & -1 \\ 1 & 2 t \end{array}\right) \vec{y}(t), t \in \mathbb{R} \\ \text { Hinweis: Substitution } u(t):=y_{1}(t) \mathrm{e}^{-t^{2}}, v(t):=y_{2}(t) \mathrm{e}^{-t^{2}} \end{array} $$

Kann mir jemand den Lösungsweg für DGL dieser Form zeigen?


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Hallo,

1) u'(t)= y1' e^(-t^2) -y1 2t e^(-t^2)  ->  y1'(t)=

2) v'(t)= y2' e^(-t^2) -y2 2t e^(-t^2)  --->y2'(t)=

Hinweis: Substitution

u(t):=y1(t)e−t^2, y1(t)= u(t)/ e^(-t2)

v(t):=y2(t)e−t^2    y2(t) =v(t)/ e^(-t^2)

die Aufgabe lautet:

y1'= 2t y1 -y2

y2'= y1 +2ty2

Setze dort y1 , y1' sowie y2 y2' ein

Du bekommst:

1) u'(t)= -v

2)v'(t)=  u ---------->u'= v''(t)

-------------

1) v''(t)= -v

v'' (t) +v=0

v= C2 sin(t) +C1 cos(t)

u= v'(t)= C2 cos(x) -C1 sin(x)

Setze das in den Hinweis ein und Du hast die Lösung:

y1=C1 e^(t^2)cos(t) -C2 e(t^2) sin(t)

y2=C1 e^(t^2)sin(t) +C2 e(t^2) cos(t)

------------>Fundamentalsystem

FS (  e^(t^2)cos(t) - e(t^2) sin(t)

      e^(t^2)sin(t)    e(t^2) cos(t) )

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