Zeigen Sie, dass AB genau dann Eigenwert 0 hat, wenn A oder B Eigenwert 0 hat.
Seien A,B nxn Matrizen mit Elementen aus dem Körper K.
AB hat Eigenwert 0
==> Es gibt v≠0 mit (AB)*v = 0 *v = 0-Vektor
==> A*(B*v) = 0-Vektor
1. Fall: B*v = 0-Vektor ==> B hat Eigenwert 0, denn (s.o.) v≠0
mit B*v = 0*v .
2. Fall B*v ≠ 0-Vektor . ==> Mit w=B*v ist
w ein (vom Nullvektor verschiedener) Vektor mit
A*w = 0-Vektor = 0*w .
umgekehrt: A oder B haben Eigenwert 0 .
1. Fall: B hat Eigenwert 0 .
==> Es gibt w ∈ K^n \ {0} mit B*w=0*w =0-Vektor .
==> (AB)*w = A(B*w) = A*0 = 0 = 0*w
Also ist w auch Eigenvektor von w zum Eigenwert 0.
2. Fall: A hat Eigenwert 0 und B hat nicht den Eigenwert 0 ,
also Kern(B) ={0} somit Bild(B)=K^n.
==> Es gibt w ∈ K^n \ {0} mit A*w=0*w =0-Vektor #.
Wegen Bild(B)=K^n gibt es v ∈ K^n \ {0} mit B*v=w
( v ist nicht der 0-Vektor, sonst wäre auch w=0.)
Somit gemäß #
0-Vektor = 0*w = A*w=A*(B*v) = (A*B)*v = 0*v.
Also hat auch AB den Eigenwert 0.
