F: Mn(R) → R , A → Spur(A) stetig?

Question

Man soll zeigen, dass die Abbildung F: M_n(R) → R , A → Spur(A) stetig ist. Könnte mit hier jemand einen Ansatz nennen? Welchse Kriterium würde sich da anbieten?

Vielen Dank!

Answer 1

$F$ ist stetig in $(M_n(\mathbb{R}),||\cdot ||_\infty)$, wobei $||\cdot ||_\infty$ die Zeilensummennorm ist. Sei also $A\in M_n(\mathbb{R})$, dann gilt: $$||\operatorname{spur}(A)||_{\text{op}}=\sup \left \{\frac{||\operatorname{spur}(A)||_2}{||A||_\infty} \, ; \, A\neq 0\right \}=\sup\limits_{||A||_\infty =1}||\operatorname{spur}(A)||_2\leq n$$ Hierbei ist $||\cdot ||_{\text{op}}$ die Operator-Norm, eine Art größter Streckungsfaktor der linearen Abbildung $F$. Es lässt sich zeigen, dass lineare Abbildung in normierten $K$-Vektorräumen stetig (und sogar gleichmäßig stetig sind), wenn $||F||_{op}<\infty$.

Tipp: Immer, wenn es um Operatoren (hier den Spur-Operator) geht, kannst du die Operatornorm zumindestens im Hinterkopf behalten.

Comments

Ahhhh ja alles klar! Herzlichen Dank!!!

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Gerne! :) VG