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Sei \(M\) die Menge aller Funktionen \( f : N → \{0, 1\}\). Zeigen Sie, dass die Abbildung
\(d : M × M → \mathbb{R} \) mit

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-f(g)|}{2^{n-1}} \) eine Metrik auf M definiert.


Könntet Ihr mir bitte bei der Aufgabe hier behilflich sein?

von

Soll wirklich \(n\) als Argument für \(f\) im Summanden \(\frac{|f(n)-f(g)|}{2^{n-1}}\) verwendet werden?

und wer ist das g ?

oder soll es   |f(n)-g(n)| heißen ? für d( f,g ) = ...

1 Antwort

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So macht es wohl Sinn:

Sei \(M\) die Menge aller Funktionen \( f : N → \{0, 1\}\). Zeigen Sie, dass die Abbildung
\(d : M × M → \mathbb{R} \) mit d(f,g) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \) eine Metrik auf M definiert.

1. pos, def.         d(f,g) = 0

                     <=>  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \)

               Da alle Summanden ≥ 0 sind, geht das nur, wenn alle gleich 0 sind,

               also für alle n∈ℕ gilt  f(n)=g(n) , also  f=g .

Umgekehrt ist bei f=g die Summe natürlich 0.

2. Symmetrie ist klar wegen |f(n)-g(n)| = |g(n)-f(n)|.

3. Für die Dreiecksungleichung musst du schauen, ob für 3 Funktionen

f,g,h dieser Art immer gilt

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \)≤ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-h(n)|}{2^{n-1}} \)+ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|h(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \).

bzw.

 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \)≤\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{|f(n)-h(n)|+|h(n)-g(n)|}{2^{n-1}} \)

Da die f(n), g(n) und h(n) alle nur 0 oder 1 sind, ist das wohl auch klar.

vor von 196 k 🚀

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