Hallo Pia,
Wie drückt man bei Steckbriefaufgaben die Bedingung "f ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 2" mathematisch aus?
keine Ahnung, was eine 'Steckbriefaufgabe' ist, aber Symmetrie zu \(x=2\) drückt man wie folgt aus:$$f(x) = f(2 \cdot 2 - x)$$Beispiel:
~plot~ (x-2)^2-3;x=2 ~plot~
Ersetze bei \(f(x) = (x-2)^2 - 3\) das \(x\) durch \(x \to 4-x\) und Du erhältst wieder die gleiche Funktion.
Auf Deinen konkreten Fall angewendet bedeutet das:$$\begin{aligned} f(x) &= ax^2 + bx + c \\ c &= -5 \\ 25a + 5b - 5 &= 0 \implies 5a + b - 1 = 0 \\ f(x) &= f(4-x) \implies ax^2 + bx - 5 &= a(4-x)^2 + b(4-x) - 5 \end{aligned}$$Fasst man die letzte Gleichung zusammen, so erhält man$$\begin{aligned} ax^2 + bx &= 16a - 8ax + ax^2 + 4b - bx \\ 0 &= 16a + 4b - (8a + 2b)x \end{aligned}$$das muss für jedes(!) \(x\) gelten. Daraus folgt dann$$8a + 2b = 0$$Zusammen mit der ersten Gleichung von oben, kommt als Lösung \(a=1\) und \(b=-4\) heraus
~plot~ x^2-4x-5;x=2;{0|-5};{5|0};[[-5|9|-9|7]] ~plot~
Es ist wahrscheinlich einfacher mit der Scheitelpunktform zu beginnen: \(f(x) = a(x-2)^2 + y_s\). Die ist automatisch symmetrisch zu \(x=2\) und nun nur noch die anderen Bedingungen einsetzen:$$\begin{aligned} a(5-2)^2 + y_s &= 0 \\ a(0-2)^2 + y_s &= -5\end{aligned}$$
