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Wie drückt man bei Steckbriefaufgaben die Bedingung "f ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 2" mathematisch aus?

Die Parabel besitzt zudem eine Nullstelle bei x = 5 und geht durch P(0|-5).

f(x) = ax²+bx+c

I: c = -5

II: 25a+5b-5 = 0

III: ?

von

2 Antworten

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Hallo Pia,

Wie drückt man bei Steckbriefaufgaben die Bedingung "f ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 2" mathematisch aus?

keine Ahnung, was eine 'Steckbriefaufgabe' ist, aber Symmetrie zu \(x=2\) drückt man wie folgt aus:$$f(x) = f(2 \cdot 2 - x)$$Beispiel:

~plot~ (x-2)^2-3;x=2 ~plot~

Ersetze bei \(f(x) = (x-2)^2 - 3\) das \(x\) durch \(x \to 4-x\) und Du erhältst wieder die gleiche Funktion.

Auf Deinen konkreten Fall angewendet bedeutet das:$$\begin{aligned} f(x) &= ax^2 + bx + c \\ c &= -5 \\ 25a + 5b - 5 &= 0 \implies 5a + b - 1 = 0 \\ f(x) &= f(4-x) \implies ax^2 + bx - 5 &= a(4-x)^2 + b(4-x) - 5 \end{aligned}$$Fasst man die letzte Gleichung zusammen, so erhält man$$\begin{aligned} ax^2 + bx &= 16a - 8ax + ax^2 + 4b - bx \\ 0 &= 16a + 4b - (8a + 2b)x \end{aligned}$$das muss für jedes(!) \(x\) gelten. Daraus folgt dann$$8a + 2b = 0$$Zusammen mit der ersten Gleichung von oben, kommt als Lösung \(a=1\) und \(b=-4\) heraus

~plot~ x^2-4x-5;x=2;{0|-5};{5|0};[[-5|9|-9|7]] ~plot~

Es ist wahrscheinlich einfacher mit der Scheitelpunktform zu beginnen: \(f(x) = a(x-2)^2 + y_s\). Die ist automatisch symmetrisch zu \(x=2\) und nun nur noch die anderen Bedingungen einsetzen:$$\begin{aligned} a(5-2)^2 + y_s &= 0 \\  a(0-2)^2 + y_s &= -5\end{aligned}$$

von 45 k

Danke, das hat mir weitergeholfen :)

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Die Parabel hat bei x=2 ein Extremum, bzw. der Scheitelpunkt liegt bei x=2.

Mit f'(2)=0 erhältst du 4a+b=0, also b=-4a.

25a+5*(-4a)-5=0

a=1; b=-4; c=-5

f(x)=x^2-4x-5


PS

Die Achsensymmetrie kannst du so ausdrücken:

f(2+x)=f(2-x)

Damit erhältst du z.B.

f(-1)=f(5)=0

und

f(4)=f(0)=-5

Du siehst, es gibt viele Möglichkeiten.

:-)

von 42 k

Über die erste Ableitung ist besonders einfach, daran hatte ich gar nicht mehr gedacht.

Danke auch für deine Antwort!

Gerne. Mit Rückmeldung macht das Helfen Spaß.      :-)

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