Vollständige Induktion und Konvergenz

Question

Aufgabe:

Die Folge (a_n) sei rekursiv definiert durch a₀ = 1 und

a_n = \( \frac{1}{100} \) a_n-1 + 1   für n ≥ 1.

a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ≥ 0 gilt

a_n = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{n} \) (\( \frac{1}{100} \))^k

b) Zeigen Sie, dass die Folge (a_n) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

c) Zeigen Sie, dass der unendliche periodische Dezimalbruch 1.010101...
eine rationale Zahl darstellt, und bestimmen Sie diese.

Problem/Ansatz:

Ich bin leider eine totale Niete wenn es um vollständige Induktion geht. Ich habe schon ein paar Rechnungen versucht und jedes Mal war es nicht ganz richtig. Meine Tutorin kann mir nicht dabei helfen, da es eine alte Klausuraufgabe ist und ihre Tipps helfen mir leider nicht wirklich.

Könnte mir vielleicht jemand erklären wie man das am besten löst?

Zu a) Ich weiß, dass man mit dem Induktionsanfang beginnt und mit n=1 rechnet. dann geht es weiter mit der Induktionsvoraussetzung und dann dem Induktionsschritt, bei dem man mit n—> n+1 rechnet. aber wenn man das so einsetzt, dann verstehe ich nicht für was die Definition von a₀ und a_n gut ist?

Zu b) Und wie zeigt man dann, dass die Folge (a_n) konvergiert und was ist mit dem Grenzwert gemeint? Wie kann man den bestimmen?

Zu c) Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Ist das in dem Falle nicht so? Reicht diese Definition als Lösung zu dieser Aufgabe? Aber was soll man hier noch bestimmen?

Vielen Dank im Voraus für alle Antworten! :)

Answer 1

Vorab: Die mit Induktion zu beweisende Aussage ist falsch. (Gegenbsp. n=0 führt zu a₀ = 0 im Widerspruch zur Definition der rekursiven Folge)

$$\text{Die richtige Aussage wäre } a_n = \sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{1}{100})^k \text{ für alle } n\geq 0 \text{.}$$

a)

$$\text{Induktionsanfang: Für } n=0 \text{ gilt nach Definition der Folge } a_0=1 \text{.} \\\text{Zusätzlich gilt } a_0=1=(\frac{1}{100})^0 = \sum\limits_{k=0}^{0} (\frac{1}{100})^k \\ \text{Damit gilt der Induktionsanfang.}$$

$$\text{Induktionshypothese: Für alle } 0\leq i \leq n \text{ soll gelten } a_i = \sum\limits_{k=0}^{i} (\frac{1}{100})^k \text{.}$$

$$\text{Induktionsschritte: } n\to n+1 \text{:}\\  \text{Es gilt } a_{n+1} = \frac{1}{100} a_n + 1 \text{ nach Definition der rekursiven Folge.}\\ \text{Nach Induktionshypothese gilt } a_n = \sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{1}{100})^k \text{.} \\ \text{Damit folgt } a_{n+1} = \frac{1}{100} a_n + 1 = \frac{1}{100} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{1}{100})^k + 1 = \sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{1}{100})^{k+1} + 1 \\ = \sum\limits_{k=1}^{n+1} (\frac{1}{100})^{k} + 1 =\sum\limits_{k=1}^{n+1} (\frac{1}{100})^{k} + (\frac{1}{100})^0 = \sum\limits_{k=0}^{n+1} (\frac{1}{100})^{k} \text{.} \\ \text{Damit gelten auch die Induktionsschritte und die Aussage ist bewiesen.}$$

b) Mit a) wurde der Zusammenhang der Folge zu einer geometrischen Reihe hergestellt.

$$\text{Da } |q|=\left|\frac{1}{100}\right|=\frac{1}{100}<1 \text{ folgt die Konvergenz für } \\n\to \infty \text{ und der Grenzwert ist } \frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99} \text{.}$$

c) Der Grenzwert aus b) tut das Gewünschte.

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