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Aufgabe:

Die Folge (an)n∈N ist definiert durch
a1 := 0,

an+1 := 1 − \( \frac{1}{2+an} \)

n ∈ N



a) Zeigen Sie explizit mit vollständiger Induktion, dass

0 ≤ an ≤ an+1 ≤ 1 für alle n ∈ N gilt.


b) Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.




Problem/Ansatz:

Das ist bei a).

Ist das Richtig?


Und bei b) habe ich leider keine Idee

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Text erkannt:

i) Indulctionsanfang
Indulctionsanfang:
\( a_{1}=0 \)
$$ \begin{array}{l} a_{a}(1)=1-\frac{1}{2+a n} \\ n=1 \end{array} $$
Indulctionsschritt
$$ 0 \leq a_{n}=1-\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2} \leq a_{(n+1)} $$
$$ a_{(n+2)} \leq 1-\frac{1}{2+1}=\frac{2}{3} \leq 1 $$

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a) Das würde ich an deiner Stelle nochmal überarbeiten. Nutze explizit die Induktionsvoraussetzung und setze ein.

b) Aufgabe a) nimmt dir schon die meiste Arbeit ab. Du hast bereits gezeigt, dass die Folge monoton wachsend und beschränkt ist, d.h. sie konvergiert. Nun musst du nur noch den grenzwert bestimmen. ( \(x = 1 - \frac{1}{2+x}\) ausrechnen)

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