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Aufgabe:

Die Folge (an)n∈N ist definiert durch
a1 := 0,

an+1 := 1 − \( \frac{1}{2+an} \)

n ∈ N



a) Zeigen Sie explizit mit vollständiger Induktion, dass

0 ≤ an ≤ an+1 ≤ 1 für alle n ∈ N gilt.


b) Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.




Problem/Ansatz:

Das ist bei a).

Ist das Richtig?


Und bei b) habe ich leider keine Idee

BAFEEF86-BF9E-4C2C-9268-66CB83D9F76C.jpeg

Text erkannt:

i) Indulctionsanfang
Indulctionsanfang:
\( a_{1}=0 \)
$$ \begin{array}{l} a_{a}(1)=1-\frac{1}{2+a n} \\ n=1 \end{array} $$
Indulctionsschritt
$$ 0 \leq a_{n}=1-\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2} \leq a_{(n+1)} $$
$$ a_{(n+2)} \leq 1-\frac{1}{2+1}=\frac{2}{3} \leq 1 $$

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