Ist die Menge U1 = \{x \in \mathbb{R}^5: \} = \{x \in \mathbb{R}^5: x_1+2x_2-x_3+3x_5=0\} ein Untervektorraum?

Question

Ist die Menge $$U1 = \{x \in \mathbb{R}^5: <x, \begin{pmatrix}  1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \\ 3  \end{pmatrix}> \} = \{x \in \mathbb{R}^5: x_1+2x_2-x_3+3x_5=0\}$$ ein Untervektorraum?

Die Aufgabe soll schnell erledigt werden können, daher denke ich, dass ich Informationen misse. Wie zeige ich, dass U1 ein Untervektorraum ist, ohne langes Probieren?

Answer 1

Hallo,

der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum. Schreibe die Hyperebene als Matrix-Vektor-Produkt und interpretiere dieses als Kern der Abbildungsmatrix \(A\):$$U_1=\left \{ x\in \mathbb{R}^5 :\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}}_{=:A} x=0  \right \}=\ker A$$

Comments

Danke für die Antwort. Also die Begründung, dass die Menge den Kern der Matrix A beschreibt, ist dann wahrscheinlich schon genug, weil der Kern einer jeden linearen Abbildung ist ein Untervektorraum. Würde das reichen?

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Genau, grüße.