Zu prüfen ist lediglich, ob die Räume skalar und multiplikativ abgeschlossen sind, das heißt, ob mit
x,y∈U auch x+y∈U
und mit
x∈U, α∈ℝ auch αx∈ U
gilt.
1) i) Seien x und y ∈ U, d.h.
x = (2t, -t, √2 t)^T
y = (2s, -s, √2 s)^T
t, s ∈ℝ
Dann gilt:
x+y = (2t, -t, √2 t)^T + (2s, -s, √2 s)^T = (2t+2s, -t-s, √2 t+√2 s)^T = (2(t+s), -(t+s), √2 (t+s))^T
Da ℝ ein Vektorraum ist, gilt mit t, s ∈ℝ auch (t+s)=u∈ℝ also gilt:
x+y = (2u, -u, √2 u)^T, u∈ℝ
⇒ x+y ∈ U
ii) Sei α∈ℝ, x∈U, d.h.
x = (2t, -t, √2 t)^T, t ∈ℝ
Dann gilt:
αx = α(2t, -t, √2 t)^T = (α*2t, α*(-t), α*√2 t)^T = (2*(αt), -(αt), √2 (αt))^T
Da ℝ ein Vektorraum ist, gilt mit t, α ∈ℝ auch (αt)=u∈ℝ also gilt:
αx = (2u, -u, √2 u)^T, u∈ℝ
⇒ αx∈ℝ
Also ist U additiv und multiplikativ abgeschlossen.
Da außerdem zum Beispiel das Element (2, -1, √2) in U liegt, ist U nicht leer.
U ist also ein Untervektorraum von ℝ3.
2) U ist kein Untervektorraum. Dafür ein Gegenbeispiel:
Die beiden Vektoren x=(1, 1, 0)T und y = (1, -1, 0)T liegen in U, denn 1²=(-1)².
Addiert man aber x und y, so erhält man:
x+y = (1,1,0)T + (1, -1, 0)T = (2, 0, 0)T
Offensichtlich gilt 22 ≠ 02 also gilt (x+y)∉U.
U ist also additiv nicht abgeschlossen.
⇒ U ist kein Untervektorraum von ℝ3.
