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Man soll bestimmen ob es sich um einen Untervektorraum von R³ handelt.

1) U1 = {(2t, -t, (Wurzel 2)*t)^T e R³ | t e R

 

2) U2 = {(x,y,z)^T e R³ | x²=y²

Würde mich sehr über Hilfe freuen.
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Zu prüfen ist lediglich, ob die Räume skalar und multiplikativ abgeschlossen sind, das heißt, ob mit

x,y∈U auch x+y∈U

und mit

x∈U, α∈ℝ auch αx∈ U

gilt.

 

1) i) Seien x und y ∈ U, d.h.

x = (2t, -t, √2 t)^T

y = (2s, -s, √2 s)^T

t, s ∈ℝ

Dann gilt:

x+y = (2t, -t, √2 t)^T + (2s, -s, √2 s)^T = (2t+2s, -t-s, √2 t+√2 s)^T = (2(t+s), -(t+s), √2 (t+s))^T

Da ℝ ein Vektorraum ist, gilt mit t, s ∈ℝ auch (t+s)=u∈ℝ also gilt:

x+y = (2u, -u, √2 u)^T, u∈ℝ

⇒ x+y ∈ U

ii) Sei α∈ℝ, x∈U, d.h.

x = (2t, -t, √2 t)^T, t ∈ℝ

Dann gilt:

αx = α(2t, -t, √2 t)^T = (α*2t, α*(-t), α*√2 t)^T = (2*(αt), -(αt), √2 (αt))^T

Da ℝ ein Vektorraum ist, gilt mit t, α ∈ℝ auch (αt)=u∈ℝ also gilt:

αx = (2u, -u, √2 u)^T, u∈ℝ

⇒ αx∈ℝ

Also ist U additiv und multiplikativ abgeschlossen.

Da außerdem zum Beispiel das Element (2, -1, √2) in U liegt, ist U nicht leer.

U ist also ein Untervektorraum von ℝ3.

 

2) U ist kein Untervektorraum. Dafür ein Gegenbeispiel:

Die beiden Vektoren x=(1, 1, 0)T und y = (1, -1, 0)T liegen in U, denn 1²=(-1)².

Addiert man aber x und y, so erhält man:

x+y = (1,1,0)T + (1, -1, 0)T = (2, 0, 0)T

Offensichtlich gilt 22 ≠ 02 also gilt (x+y)∉U.
U ist also additiv nicht abgeschlossen.

⇒ U ist kein Untervektorraum von ℝ3.

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