Stetige Fortsrtzung von x*(sin1/x)

Question

ich möchte folgendes zeigen und bin mir aber nicht ganz sicher ob meine Argumentation richtig ist

Betrachte f: $$\mathbb{R} \setminus 0 \rightarrow \mathbb{R}$$, x-> x*sin(1/x)

f besitzt stetige Fortsetzung in 0 durch

$$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$

x-> f(x) für x ungleich 0, 0 sonst

Zu zeigen: g ist stetig in 0.

0 ist Häufungspunkt von $$\mathbb{R}$$ , zeige also:

$$\lim\limits_{x\to0} g(x) = g(0)= 0$$

ich muss also den Grenzwert $$\lim\limits_{x\to0} g(x)$$ berechnen, das mch ich mit dem Folgenkriterium für Grenzwerte von Funktionen. Sei also a_n eine beliebige Folge in $$\mathbb{R}$$ mit $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$$.

Dann gilt: $$\lim\limits_{n\to\infty} g(a_n) = \lim\limits_{n\to\infty} ((a_n)*sin(1/a_n))/(a_n))$$ , mit den Grenzwertsätzen für Folgen:

$$\lim\limits_{n\to\infty} ((a_n)*sin(1/a_n))/(a_n))= \lim\limits_{n\to\infty} a_n \lim\limits_{n\to\infty} a_n* sin(1/a_n)$$ und da ersteres eine Nullfolge ist und weil sin(1/a_n) eine beschränkte Folge ist folgt 0*0= 0 für den Grenzwert.

Passt das soweit? und wenn nein, wie könnte ich zeigen, dass g in 0 stetig ist?

LG

Answer 1

Hallo

 1.wie kommst du denn auf dein g(x) statt f(x)? da steht jetzt anscheinend x*x*sin(1/x)?

2. da lim sin(1/x) nicht existiert, kannst du die Grenzwertsätze nicht benutzen, aber richtig ist |sin(1/an)|<=1 deshalb lim|ansin(1/an)|<=liman*1=0

Gruß lul

Comments

Hallo , g soll so definiert sein ( das hatte ich schon vorgegeben, aber so ist die stetige Fortsetzung ja definiert):

$$g(x) = f(x), x \neq 0$$

$$g(x) = \lim\limits_{x\to 0} f(x), sonst$$

LG

Gibt es noch eine andere Möglichkeit, schnell zu sehen, dass g in 0 stetig ist?