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Aufgabe:

Die durchschnittliche Körpermaße von Zwerghamstern wird bei der Geburt mit 1,2g angeben, nach 1 Woche mit 4,3g - nach 2 Wochen mit 8,7g - nach 4 Wochen mit 12,5g und nach 4 Wochen mit 14,2g.

Die zeitliche Entwicklung d. Körpermaße soll durch eine Polynomfunktion 3. Grades „f“ beschrieben werden.


Frage: Ermitteln Sie mithilfe von Regression eine Gleichung dieser Polynomfunktion 3. Grades „f“. Wählen Sie t=0 für den Zeitpunkt der Geburt.


Problem/Ansatz:

Das Thema Regression & Polynomfunktion  liegt mir einfach nicht im Herzen, weil mein Lehrer es wirklich nicht erklären kann. Ich weiß nicht wie ich die Gleichung aufstellen soll.

Ich weiß die Funktion für 3. Grades ist

f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d

Können Sie mir die Rechenschritte erklären?


Bei diesem Beispiel kann ich leider nicht herauslesen welcher Wert eig an der „x“ Koordinate liegt & welcher Wert an der „y“ Stelle. Liegen die Wochen auf „x“ oder auf „y“ Stelle?

Können Sie mir helfen wie es für nächstes Mal herauslesen kann?

Danke für die Unterstüzung.

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Frage: Ermitteln Sie mithilfe von Regression eine Gleichung dieser Polynomfunktion 3. Grades

Dies ist aber sehr schwer.

Eine lineare Regression wie bei deiner letzten
Frage geht ja noch.

Habt ihr dies überhaupt im Unterricht besprochen ?
Was sagen deine Mitschüler dazu ?

Wenn ich mir die Grafik und die Punkte bei
Tschaka anschaue schjeint mir eine Regressions-
( Ausgleichs- ) berechung gar nicht erforderlich.
Die Punkte liegen doch ohne Abweichungen bildschön auf dem Graph.

2 Antworten

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, je nach Kenntnisstand

z.B siehe

https://www.geogebra.org/m/YjjE9nwR

Und es gibt auch einen Wissenartikel dazu. Ich würde auf die Normalengleichungen zurück greifen. Vielleicht hilft das konkrete Fragen zu stellen

Avatar von 21 k
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Hallo Monika,

Zunächst das Ergebnis im Plotlux-Plotter vorne weg:

~plot~ {0|1.2};{1|4.3};{2|8.7};{3|12.5};{4|14.2};[[-1|6|-2|19]];((-0.283x+1.457)*x+1.955)*x+1.194 ~plot~

Ich habe Dir oben die Punkte und die Regression 3'ten Grades eingezeichnet.

Ich weiß die Funktion für 3. Grades ist
f(x)= ax3 + bx2 + cx + d

Das ist richtig. Da gilt es nun, die vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) zu finden, dass ein Polynom entsteht, für das die Differenzen zu den 'Messwerten' möglichst klein sind.

Bei diesem Beispiel kann ich leider nicht herauslesen welcher Wert eig an der „x“ Koordinate liegt & welcher Wert an der „y“ Stelle. Liegen die Wochen auf „x“ oder auf „y“ Stelle?

Die Zeit - und damit die Wochen - sind die X-Werte. Oder in diesem Fall auch Werte für \(t\), aber das ist egal, das ist nur ein Name. Du möchtest ja nicht wissen, wann ein Hamster nach der Geburt genau 8,7g wiegt, sondern es soll ein Modell berechnet werden, aus dem man sehen kann, wieviel ein Hamster im Mittel 2 Wochen nach der Geburt wiegt. Also wenn \(t\) die Zeit in Wochen ist und \(G\) das Gewicht (die Masse) des Hamsters, so suchen wir$$G(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$$ Und diese Gleichung können wir für die 5 bekannten Werte aufstellen:$$\begin{pmatrix}0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 8& 4& 2& 1\\ 27& 9& 3& 1\\ 64& 16& 4& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}1.2\\ 4.3\\ 8.7\\ 12.5\\ 14.2\end{pmatrix}$$(Bem.: hier verwende ich den '.' als Dezimaltrenner bei Zahlen). Das ist ein überbestimmtes Gleichungssystem, d.h. da sind mehr Informationen als Unbekannte, nämlich 5 zu 4. Und genau wie Dir Tschakabumba das zu Deiner letzten Frage erklärt hat, multiplizieren wir deshalb das System mit der tansponierten Matrix von links. Heißt, aus $$A \cdot \alpha = y$$(\(\alpha\) ist der Vektor mit den Werten von \(a\) bis \(d\)) wird $$A^{T} \cdot A \cdot \alpha = A^T \cdot y $$Das ist die sogenannte Normalengleichung. Das Ergebnis ist:$$\begin{pmatrix}4890& 1300& 354& 100\\ 1300& 354& 100& 30\\ 354& 100& 30& 10\\ 100& 30& 10& 5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1320.2\\ 378.8\\ 116\\ 40.9\end{pmatrix}$$Mit der Lösung$$\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.28333\\ 1.45714\\ 1.95476\\ 1.19429\end{pmatrix}$$Für solche Berechnungen eignet sich übrigens ein Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. Excel) ganz hervorragend.

Wenn Du dazu noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Und natürlich wird das Gewicht des Hamsters in der Realität nach der 5.Woche nicht so abstürzen (s. Plot oben). Da bräuchte man noch mehr Werte oder ein besseres Modell um den Gewichtsverlauf nach der 5.Woche besser zu modellieren..

Avatar von 48 k

Danke vielmals für Ihre Bemühung und Unterstützung :)))

Schön, dass ich Dir helfen konnte :-)

Bei diesem Beispiel kann ich leider nicht herauslesen welcher Wert eig an der „x“ Koordinate liegt & welcher Wert an der „y“ Stelle. Liegen die Wochen auf „x“ oder auf „y“ Stelle?
Können Sie mir helfen wie es für nächstes Mal herauslesen kann?

Dau noch ein Tipp: Wenn es für einen der Parameter (hier die Zeit nach der Geburt), keine zwei unterschiedlichen 'Partner-Werte' geben kann, d,h. nach der 3.Woche kann ein einzelner Hamster nicht gleichzeitig zwei verschieden Gewichte haben, dann ist dieser Parameter immer der 'X-Wert'.

Umgekehrt ist das möglich: der Hamster kann in der 5. Woche so viel wiegen wie in der 6.Woche. Somit ist das Gewicht der 'Y-Wert'. Es kann für zwei verschieden X-Werte ein und derselbe Y-Wert existieren.

Hast Du Messwerte von mehr als einen Hamster, so können natürlich Wertepaare auftauchen, die bei gleichem Alter (X) verschiede Gewichte (Y) haben. Das oben gesagte bezieht sich aber immer auf das Ergebnis - sozusagen auf den 'Durchschnitts'-Hamster. Und der hat zu einer Zeit immer nur genau ein Gewicht.

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