Gibt es jetzt eine einfache Möglichkeit auszuschließen, dass die Matrix semi positiv/negativ definit ist, oder …

Question

Ich habe folgende Matrix gegeben:

$$ A = \left( \begin{matrix} 16 & 4 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$

Mittels Determinanten der Hauptuntermatrix kann ich leicht feststellen, dass die Matrix weder positiv noch negativ Definit ist.

Gibt es jetzt eine einfache Möglichkeit auszuschließen, dass die Matrix semi positiv/negativ definit ist, oder bleibt einem nur über alle Eigenwerte zu bestimmen, was bei solch einer Matrix sehr schnell sehr aufwendig werden kann?

Answer 1

Aloha :)

Die Hauptminoren sind \(16\), \(16\), \(-8\) und \(1\). Daher ist die Matrix nicht definit. Über die Semidefinitheit kann das Hauptminoren-Kriterium nichts aussagen. Die Eigenwerte der Matrix sind:$$17,3918\quad;\quad1,15303\quad;\quad-0,428382\quad;\quad-0,116409$$Daher ist die Matrix nicht semi-definit.