die Einschränkung β|UxU ist positiv definit, und β|WxW ist negativ definit.

Question

Es sei V := ℝ^2x2 als ℝ-VR und : V x V → R die Abbildung

(A,B) ↦ Spur(AB). Weiter seien U := {A ∈ ℝ^2x2 : A = A^T} und W := {A ∈ ℝ^2x2 : A = -A^T} die
Unteräume von V

Man zeige: die Einschränkung β|_UxU ist positiv definit, und β|_WxW ist negativ definit.

Answer 1

Sei A ∈ U  und A ≠ 0

==>  Es gibt  a,b,c ∈ℝ (miondestens eins davon nicht 0) mit A =

a   b
b   c.

==>  ß ( A,A ) =  Spur ( A * A )

= Spur (   a^2 + b^2          ab + bc
                 ab+bc              b^2 + c^2 )

=  a^2 + 2b^2 + c^2  > 0 , weil nicht alle

a,b,c gleich 0 sind.

Also für alle  A ∈ U  und A ≠ 0 gilt ß(A,A) > 0 , also

β_|UxU ist positiv definit.    Das zweite entsprechend.

Answer 2

  Wenn du ein Durchblicker werden willst.  Es empfiehlt sich meist, wenn es für die in Rede stehenden geometrischen Objekte gewisse Normalformen gibt, diese auchch zu benutzen. Was er meint:  S  ist  ===>  Hermitesch  ( Ich nenne es mal  " S "   wie  "  Symmetrisch " )

    Jeden Hermiteschen Operator kannst du auf eine  ONB  diagonalisieren;  seine Eigenwerte sind reell.

   Sp  (  H  ²  )  =  E_i  E_i  >  0       (  1  )

     (  In  ( 1 ) wurde Gebrauch gemacht von der ===>  Einsteinschen  Indexkonvention. )

   Wenn S nicht die Nullmatrix ist, gibt es immer einen Eigenwert  ungleich  Null;  Quadrate  sind immer positiv.

     Wichtig ist die Fähigkeit zur Verallgemeinerung so wie zur Abstraktion;  wie du siehst, gibt es nichts an diesem Problem, was uns zur Brschränkung auf die Dimensionszahl  n = 2 zwingen würde.

   Sei nnmehr  A  antimetrisch wie angegeben. Dann definiere ich

      A1  :=  i  A     (  2a  )

    (A1+)  =  ( - i )  *  ( - A )  =  i  A  =  A1  ===>  A1  ist Hermitesch     (  2b  )

     Nur eine kleine Änderung: auch A ist diagonalisierbar. Nur sind seine Eigenwerte eben rein imag; und von Da bekommen wir ein Minuszeichen herein  ===>  negativ definit