Beweisen Sie formal, daß ein jedes Minimum einer halbgeordneten Menge auch ein minimales Element dieser Menge ist.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie formal, daß ein jedes Minimum einer halbgeordneten Menge auch ein minimales Element dieser Menge ist.

Answer 1

Hallo,

da ich mich in diesem Bereich nicht so auskenne, zunächst nochmal die Definition:

- $m \in M$ ist Minimum von M genau dann, wenn: $\forall x \in M: m \leq x$ (*)

- $q \in M$ ist minimales Element von M genau dann, wenn: Es gibt keine $x \in M$ mit $x < m$ gibt.

Sind diese Definitionen richtig? Dann indirekt: Wenn m Minimum ist aber nicht minimales Element, dann existiert ein $x \in M$ mit $x < m$. Wegen (*) gilt auch $m \leq x$. Wegen der Antisymmetrie folgt: $x=m$. Das ist ein Widerspruch zu $x < m$.

Gruß