Matrizen über Körper C Q R diagonalisieren

Question

In dieser Aufgabe muss ich Matrizen diagonalisieren:

Gegeben:

$$\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$

$$\\~\text{Welcher dieser Matrizen sind über } \mathbb{Q}~ \mathbb{R}~ \mathbb{C}~ \text{ diagonalisierbar? }$$

Kann mir wer helfen die Körper zu verstehen wie ich diese darauf anwenden soll?

Bedeutet das die Ergebnisse in der Menge Q R C liegen sollen? Und wie erkenne ich das es in der Menge C liegt. So weit ich es verstanden habe liegen alle in C da alle eine Teilmenge von C sind.

Bitte um Hilfe beim Lösen der Aufgabe

Answer 1

Welche Eigenwerte λ ∈ ℚ, ℝ,ℂ gibt es und gibt es die entsprechenden Eigenräume dazu, die eine Diagonalisierung möglich machen.

Du kannst Deine Matrizen bei

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

eingeben und das Ergebnis analysieren bzw. rechnerisch überprüfen...

ein paar Hinweise

$\small A \, := \, \left(\begin{array}{rr}-3&4\\-1&1\\\end{array}\right) ⇒ EW \, := \, \left\{ -1 \right\} ⇒ ER_{-1} \, := \, \left(\begin{array}{rr}2&1\\\end{array}\right)^T$

$\small A \, := \, \left(\begin{array}{rr}-3&1\\-2&-1\\\end{array}\right)⇒ EW \, := \, \left\{ -2 + i, -2 - i \right\}$