Kompakte Menge Beispiel

Question

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Ich versuche gerade ein Beispiel für folgende Aussage zu konstruieren:

Sei M ein metrischer Raum. Ist M kompakt und

$$A \subset M$$ abgeschlossen, dann ist A kompakt.

Mein Beispiel:

Betrachte

$$[0,4] \subset \mathbb{R}$$ als metrischen Raum.

Wähle A als $$[1,2] \subset [0,4]$$.

Mein Problem jetzt; ich sehe nicht, dass [1,2] abgeschlossen in [0,4] ist, denn

$$[0,4] \setminus [1,2]= [0,1)\cup (1,2) \cup (2,4]$$ ist nicht offen, da bspws. 1 kein innerer Punkt von M ist oder irre ich mich?

Kann mir jemand sagen wo da mein Denkfehler liegt?

LG

Comments

$[0,4] \setminus [1,2]\neq [0,1)\cup (1,2) \cup (2,4]$

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Was habe ich da falsch gemacht ?

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[0,4]\[1,2]=[0,1)∪(2,4]

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oh... natürlich!

Aber diese menge ist dennoch nicht offen, wie kann ich dann sehen, dass [1,2] abg. in [0,4] ist ?

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Kannst du eine Überdeckung von [1,2] angeben?

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Es würde doch einfach (0,4) gehen, oder?

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Ich dachte eher an $\mathcal{U}=\{U_\varepsilon (q) : q\in [1,2]\cap \mathbb{Q}\}$.

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Sorry jetzt bin ich verwirrt, die offene Überdeckung müsste doch jedes Element von [1,2] enthalten, was ist dann bspsws. mit $$\sqrt {2}$$ ?

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Wir wählen immer $\varepsilon >0$. Das ist eine Kollektion von Überdeckungsmengen und keine Punkte. Umgebungen um jede reelle Zahl in [1,2] sind sinnfrei.

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Ah ok ja klar! Das passt , danke dir! Aber wie kann ich sehen, dass [0,4] \ [1,2} offen ist ? Oder geht das in diesem Fall einfach nicht ?

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Also ich glaube ich weiß jetzt was mich stört: Um zu zeigen, dass

$$[0,4] \setminus [1,2]$$ offen in$$M =[0,4]$$ ist, müsste ich jetzt zeigen, dass die Menge

$$[0,4] \setminus [1,2] = [0,1) \cup [2,4]$$

offen in M ist, dass also jeder Punkt davon ein innerer Punkt ist, jetzt weiß ich aber nicht, wie bspsweise die 1/2 - Umgebung des Punktes 0 aussieht, denn die Menge M hört ja "bei null auf", ganz konkret gefragt: ist der Punkt 0 ein innerer Punkt von $$[0,1) \cup [2,4]$$ ?

LG

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[1,2] is abgeschlossen in [0,4], wenn [0,4]\[1,2]=[0,1)∪(2,4] offen ist.

[0,1) ist eine offene Teilmenge von [0,4], da [0,1)=(-∞, 1)∩[0,4]] und (-∞, 1) offen in ℝ.

Für (2,4] analog.

Answer 1

Wähle eine offene Überdeckung $\mathcal{U}=\{U_\lambda\}_{\lambda\in I}$ von $A$. Wenn $A$ abgeschlossen ist, so ist $M\setminus A$ offen und $M\setminus A$ und $\mathcal{U}$ bilden zusammen eine Überdeckung von $M$. Aufgrund der Kompaktheit von $M$ lässt sich diese zu einer endlichen Teilüberdeckung $\{M\setminus A, U_{\lambda_1}, ..., U_{\lambda_r}\}$ reduzieren. Somt bildet $\{U_{\lambda_1}, ..., U_{\lambda_r}\}$ eine endliche Teilüberdeckung von $A$.

Comments

Okay vielen Dank! Aber wie kann ich direkt aus der Def. sehen, dass [1,2] abgeschlossen in [0,4] ist?LG

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Ah jetzt verstehe ich es, danke! Noch eine letzte Frage dazu: die Definition, dass jeder Punkt einer offenen Menge ein innerer Punkt ist, kann ich hier nicht anwenden oder?

So existiert doch bspsweise kein

$$ε \text { , so dass } U_ε (0) \subset [0,4] \setminus[1,2]$$ oder wie mache ich das ?

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[0,4]\[1,2]=[0,1)∪(2,4]

Eine weitere Sichtweise, um zu zeigen, dass [0,1) offen in [0,4] ist. Wähle x∈[0,1) und setze ε:=1-x. Dann ist $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap[0,1)\subset[0,1)$.

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Hm, aber wie kann die 1- umgebung von 0 enthalten sein?