Ist mein Beweis richtig?
Text erkannt:
Satz: Eine Merge XCIK heißt Kompall, wenn sie abgeschlossen \( K \) beschränht ist.
Beweis:
\( \Leftrightarrow \) Angenommen \( X \) ist beschränlit \( K \) abgeschlassen \( X \) beschränlet \( \Longrightarrow \exists \max (X): \max (X) \geqslant x \quad \forall x \in X \) \( l \) abgeschlossen \( \Longrightarrow \exists \min (X): \min (X) \leq x \quad \forall x \in X \)
\( K \min (X), \max (X) \in X \), da die Menge alle ihrer Härfungspunlute enthält, wegen Abgeschlossenheit.
Nun gibt es Folgen \( \left(x_{n}\right)_{n \in I N} \) in \( ^{x} \) mit \( x_{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \max (X) \) oder \( x_{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \min (x) \). Somit gilt Sür jede Tei(folge \( \left(x_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) von \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auch \( x_{n_{k}} \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \min (x) \) oder \( x_{n_{k}} \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \max (x) \)
Text erkannt:
\& da \( \max (X), \min (X) \in X \) wegen Abgeschlossenheit, gilt somit auch \( \lim x_{n_{k}} \in X \).
Da \( X \) abgeschlossen ist, enthält sie all ihre Häufungspart te \( x \in X \quad x \) jede Folge ( \( \left.y_{n}\right)_{n \in i n} \) in \( ^{x} \) mit \( y_{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} x \) hat konvergente Teilfolgen \( \left(y_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) mit ebenfalls \( y_{n_{k}} \xrightarrow{k \rightarrow \infty} x \in X \) \& daher gilt immer für jede honvergente Teilfolge in \( X \) : \( \lim y_{n_{k}} \in X \). Damit ist \( X \) hompaht.
\( \Longleftrightarrow \) : Angenommen \( X \) ist Kompalut.
D.h. \( \forall\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in X \exists\left(x_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}}: \lim x_{n_{k}} \in X \)
Sei \( x \) Randpunlit von \( X \). Sei \( (X)_{n \in \mathbb{N}} \in X \) eire Folge mit \( x_{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} x \). Somit konvergiert auch jede Teilfolge \( \left(X_{n_{k}}\right) \) mit gegen \( X \). Da \( X \) kompalut ist, \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in X \& \) lim \( x_{k} \) \( =x \) gilt, muss \( \lim x_{n_{k}} \in X \), also \( x \in X \) gelten. Damit siad die Randpunkle \( X \) in \( X \) enthalten.
Sei \( x \) innerer. Punlut, so gelte dies analog.
Damit enthält \( x \) alle Häufungspunhte \( x< \) ist damit abgeschlossen \( X \) durch den Randpunuten beschränht.
