Beweis offene/abgeschlossene/kompakte Menge

Question

Hallo zusammen,

in einer Aufgabe soll ich untersuchen, ob die folgende Menge offen/abgeschlossen/kompakt ist.

$$A := \left\{(x,y) \in \mathbb{R²}  | (x-1)² + y² < 1 , x + y < 1\right\}$$

Ich weiß, dass eine Teilmenge eines metrischen Raumes offen ist, wenn diee Menge eine Umgebung ihrer Punkte ist, d.h. in dem Fall für ein $$(x,y)\in A$$ ein Epsilon existiert, sodass $$Bε(x)$$ in A liegt.

Ich weiß auch, dass wenn eine Menge offen und beschränkt ist, sie kompakt ist. Beide Teile der Menge sind ja kleiner 1, weswegen ich davon ausgehen würde, dass beide Teile beschränkt sind. Das heißt, ich muss nur noch formal prüfen, ob beide Mengenteile offen sind, denn der Durchschnitt zweier offener Mengen wäre ja wieder offen.

Leider weiß ich nicht, wie ich hier geschickt vorgehe und die Epsilon-Kugeln so konstruiere, dass diese wiederum in A liegen und damit die Menge offen ist.

Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Solche Aufgaben sind viel einfacher zu bearbeiten, wenn man

weiß, dass das Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen

Abbildung offen ist.

Nun ist \(f(x,y)=(x-1)^2+y^2\) als Polynomfkt. überall stetig,

folglich ist \(O_1:=f^{-1}((-\infty, 1))\) als Urbild des offenen Intervalls \((-\infty, 1)\)

offen.

Ferner ist \(g(x,y)=x+y\) überall stetig und daher

\(O_2:=g^{-1}((-\infty, 1))\) offen.

Damit ist \(A=O_1\cap O_2\) offen. Da in \(\mathbb{R}^2\)

nur die leere Menge und der ganze Raum zugleich offen und

abgeschlossen sind, ist \(A\) nicht abgeschlossen.

Die Beschränktheit ist bereits ausreichend behandelt worden.

Comments

Vielen Dank für Deine Antwort! :)

Answer 2

Ich weiß auch, dass wenn eine Menge offen und beschränkt ist, sie kompakt ist.
Du meinst sicher: abgeschlossen und beschränkt !

Beide Teile der Menge sind ja kleiner 1, weswegen ich davon ausgehen würde, dass beide Teile beschränkt sind.     Es gibt zwei Bedingungen, die die Elemente der

Menge erfüllen müssen, das sind nicht 2 Teile.

\(A := \left\{(x,y) \in \mathbb{R²}  | (x-1)² + y² < 1 , x + y < 1\right\}\)

Du musst zeigen, dass es ein c∈ℝ gibt, so dass für jedes (x,y)∈A gilt ||(x,y)|| ≤ c.

Sei also (x,y)∈A.

Wenn du bei der ersten Bedingung das < durch = ersetzt ist das die

Gleichung des Kreises um (1;0)  mit Radius 1. Die Punkte mit <

sind also im Inneren des Kreises.

Also sind insbesondere alle Punkte weniger als z.B. 5 vom 0-Punkt

entfernt, und damit gilt sicherlich ||(x,y)|| ≤ 5.

Das kannst du auch explizit nachrechnen:

(x-1)^2 + y^2 < 1 ==>   (x-1)^2 < 1-y^2 Und 1-y^2 ist maximal 1 also

(x-1)^2 < 1 ==>   -1 < x-1 < 1 ==>    0<x<2  ==>

Und aus (x-1)^2 < 1-y^2 folgt dann  -1 < y < 1 .

Offen ist  die Menge auch; denn wenn (x,y) ein Punkt ist mit

(x-1)² + y² < 1    und  x + y < 1

dann gibt es auch eine ganze ε-Umgebung des Punktes, für deren

Elemente das gilt.

Abgeschlossen ist die Menge nicht; denn z.B. P( 0,5√2 ;  0,5√2)

liegt im Komplement von A, aber in jeder (kleinen) ε-Umgebung von P liegt

ein Punkt Q( 0,5√2-ε ;  0,5√2-ε) aus A. Das Komplement ist also

nicht offen, somit A nicht abgeschlossen.

Comments

Hallo :)

Erstmal danke für deine Antwort!

1. Natürlich abgeschlossen und beschränkt - da hat sich wohl der Fehlerteufel eingeschlichen ;)

2. Also sind insbesondere alle Punkte weniger als z.B. 5 vom 0-Punkt entfernt, und damit gilt sicherlich ||(x,y)|| ≤ 5.

Ok, ich denke ich habe deinen Gedankengang verstanden, aber wie kommst du auf die 5? Hast du die willkürlich gewählt? Was spielt das für eine Rolle?

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Ach und als Ergänzung:

Kannst du diesen Punkt noch einmal näher erläutern:

Offen ist die Menge auch; denn wenn (x,y) ein Punkt ist mit

(x-1)² + y² < 1    und x + y < 1

dann gibt es auch eine ganze ε-Umgebung des Punktes, für deren Elemente das gilt.

Woran siehst du, dass es eine ganze Epsilon-Umgebung gibt, für deren Elemente das gilt?