Beweise, falls a1/n eine rationale Zahl ist, dann ist a1/n eine natürliche Zahl

Question

Aufgabe:

Beweise, falls a^1/n eine rationale Zahl ist, dann ist a^1/n eine natürliche Zahl

Problem/Ansatz:

Ich muss diesen Satz beweisen, bzw. zeigen, dass er für n>2 und a ∈ N stimmt.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich am besten anfangen soll.

Answer 1

indirekter Beweis:

Angenommen a^1/n ist rational aber a^1/n ist nicht natürlich.

Formal a^1/n=p/q aber a^1/n≠m mit p,q,m∈ℕ.

Dann ist a=bⁿ/qⁿ aber a≠mⁿ.

Das lässt sich zum Widerspruch führen.

Answer 2

a∈ℕ

a^{1/n}∈ℚ

Beh. a^{1/n}∈ℕ

a^{1/n}=p/q   sei vollständig gekürzt. Dabei sei p,q∈ℕ.

a=p^{n}/q^{n}∈ℕ ⇒ q=1

a^{1/n}=p∈ℕ