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11^n - 2^{2n} wird für jede natürliche Zahl n durch 7 geteilt.

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11n+1 - 22(n+1)

= 11·11n - 4·22n

= 7·11n + 4·11n - 4·22n

= 7·11n + 4·(11n - 22n)

von 77 k 🚀

Ist aber kein Vielfaches von 7 ?

Doch, wenn 11n - 22n ein Vielfaches von 7 ist.

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Hallo Oliver,

Behauptung:

A(n):  Für alle n∈ℕ gilt :   11n - 22n  ist durch 7 teilbar   

          ⇔  Für alle n∈ℕ gilt:  11n -  4n  ist durch 7 teilbar

Beweis durch vollständige Induktion:

A(1):  111 - 41  =  7  ist durch 7 teilbar  (wahr)

A(n)  →  A(n+1):   

 Es gilt: 11n+1 - 4n+1  =  11 * 11n -  4 * 4n  =  7 * 11n + 4 * 11n -  4 * 4n   

                                    =  7 * 11n  +  4 * (11n - 4n)  

                     teilbar durch 7  |  teilbar durch 7 nach Induktionvoraussetzng  A(n)

          Wenn alle Summanden einer Summe durch 7 teilbar sind, dann ist die Summe                      durch 7 teilbar.

           →   11n+1 - 4n+1   ist durch 7 teilbar.

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀

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