Zeige: A = (1; 1), B = (5; 5), C = (7; 5), D = (8; 3) bilden konvexes Viereck. Simplexvolumen soll 1 sein.

Question

a) Weisen Sie durch durch Verwendung von Determinanten nach, dass die Punkte A =
(1; 1), B = (5; 5), C = (7; 5), D = (8; 3) in Uhrzeigerrichtung ein konvexes Viereck
bilden. Dazu muss man zeigen, dass B links und D rechts von der Geraden vec(AC)
sowie C links und A rechts von der Geraden vec(BD) liegen.

b) Bestimmen Sie die Fläche des Vierecks aus a) als Flächensumme von zwei Dreiecken.

c) Gegeben sind die Punkte P = (-1;-1; 0), Q = (2; 2; 0) und R = (-2; 2; 2) in R^3.
Bestimmen Sie alle möglichen Werte für z, so dass der Simplex mit den Ecken P; Q;R
und S = (3; 1; z) das Volumen 1 hat.

Answer 1

c)

P = [-1, -1, 0]
Q = [2, 2, 0]
R = [-2, 2, 2]
S = [3, 1, z]

PQ = [3, 3, 0] 
PR = [-1, 3, 2]
PS = [4, 2, z]

|1/6·([3, 3, 0] ⨯ [-1, 3, 2])⋅[4, 2, z]| = 1
2·z + 2 = 1
z = - 1/2
-(2·z + 2) = 1
z = - 3/2

a)

Wo genau ist das Problem? Skizziere es dir mal auf einem Blatt Papier und Frage dich wie du es zeigen kannst, was gefragt ist. Überlege dir ob dir dabei Winkel helfen könnten und wie du die Winkel berechnen kannst.

b) 

Das Kreuzprodukt kann verwendet werden um Flächen auszurechnen, die von 2 Vektoren aufgespannt werden. Die Fläche eines Dreiecks, welches von den Vektoren A und B aufgespannt wird hat den Flächeninhalt

Fläche = 1/2 * |A ⨯ B|

Da das Kreuzprodukt nur auf den 3D-Raum definiert ist, kann man im Zweidimensionalen einfach als z Koordinate eine 0 anfügen.

Comments

Wie war die Rechnung zu |1/6·([3, 3, 0] ⨯ [-1, 3, 2])⋅[4, 2, z]| = 1, kannst du die einzelnen Schritte zeigen. und woher kommst du auf diese formel

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Ich habe dort das Spat-Produkt angewendet:

https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt

Answer 2

Noch eine Ergänzung zu a).

Das Vorzeichen der Determinante zeigt dir, die Orientierung eines Winkels.

Wenn nun die Determinanten zu (AD,AB), (BA, BC), (CB,CD) und (DC, DA) alle das gleiche Vorzeichen haben, sollte das Viereck konvex sein.

Grund: Du kannst die Determinante als Vektorprodukt auffassen von Vektoren im R^3, die die z-Komponente 0 haben. Das Resultat ist dann die z-Komponente des Vektorprodukts. Vorzeichen je nach dem, ob der resultierende Vektor in die Zeichenebene hinein oder aus ihr heraus zeigt. (Die x- und y-Komponente ist automatisch 0).
Die Fläche des Vierecks kannst du auch als Hälfte der Summe der Beträge der Determinanten (AD,AB) und (CB,CD) berechnen (Kontrolle).

Also F = 1/2 |Det (AD,AB)| + 1/2 |Det (CB,CD) |

Comments

Wie berechne ich die Det (AD,AB) ich muss ja vorher sie in Matrix darstellen. aber ich weiß nicht wie man das macht

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Ich schreibe Vektoren fett. Ergänze Pfeile, resp. schreibe die Komponenten untereinander.

A(1; 1), B(5; 5), C(7; 5), D(8; 3)

Erst mal die Verbindungsvektoren berechnen:

AD = ((8-1),(3-1)) = (7,2)

AB = ((5-1),(5-1)) = (4,4)

Nun die beiden Verbindungsvektoren in die Spalten deiner Matrix schreiben.

Matrix: M = ((7,4)(2,4))

det (M) = 7*4 - 2*4 = 20 > 0

Leider ist bei Matheretter nur das Einführungsvideo zu Vektoren kostenfrei. Es dürfte sich allerdings lohnen, das mal anzusehen. https://www.matheretter.de/wiki/vektoren

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eine frage vielleicht: Warum muss man die determinanten von (AD,AB), (BA, BC), (CB,CD) und (DC, CD) berechnen. es muss doch im uhrzeigersinn zeigen. dies habe ich nicht verstande

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Sorry. Das sollte natürlich

(AD,AB), (BA, BC), (CB,CD) und (DC, DA)

heissen. Ist inzwischen korrigiert. 

Wenn ich den Uhrzeigersinn einbeziehe; Also konvex und im Uhrzeigersinn beschriftet, müssen alle Determinanten grösser als 0 sein.

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Warum ist die orientierung des winkels gleich der positiven determinante wichtig?

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Was ist mit den vec(AC) und vec(BD). muss man dies nicht mibeachten

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In welchem Zusammenhang löst du diese Aufgabe? Du solltest ja eigentlich die Aufgaben möglichst mit der Theorie in eurem Kurs lösen. Sonst verstehst du die Theorie dank der Aufgaben nicht besser.

Weisst du wie ein konvexes Viereck aussieht? Kannst du eines skizzieren, das nicht konvex ist?

In einem konvexen Viereck sind alle Winkel kleiner als 180°. Nun benutzt du die rechte-Hand-Regel um festzustellen in welche Richtung der resultierende Vektor zeigt, wenn man das Vektorprodukt bildet.

So wie ich die Vektoren in den Determinanten angegeben habe, zeigen alle resultierenden Vektoren nach 'oben', wenn das Viereck konvex ist.