Beweisen sie mithilfe von vollst. Induktion das dies auch für A(n)= n+1 gilt.

Question

Aufgabe:

1+\( \frac{1}{2} \)+\( \frac{1}{2} \)^2+\( \frac{1}{2} \)^3+...+\( \frac{1}{2} \)^n = \( \frac{1-(0,5)^{n+1}}{0,5} \)

Beweise mithilfe von vollständiger Induktion das dies auch für A(n)=n+1 gilt.
Problem/Ansatz:

Der Induktionsanfang und der Anfang des Schrittes haben super geklappt.

Ich bin so weit gekommen, dass ich die Annahme auf der Linken Seite einfügen konnte, sodass ich jetzt

\( \frac{1-(0,5)^{n+1}}{0,5} \) + (0,5)^{n+1} = \( \frac{1-(0,5)^{(n+1)+1}}{0,5} \) stehen habe.

Jedoch weiß ich jetzt nicht mehr weiter, bzw. sehe nichts was ich auflösen etc könnte. Der einzige stumpfe Gedanke den ich habe ist es (0,5)^n+1 auf 1/2 zu erweitern.

Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Hallo

Ich bin so weit gekommen, dass ich die Annahme auf der Linken Seite einfügen konnte, sodass ich jetzt...

Du musst nun eben durch passende Umformungen von der linken Seite zur der rechten Seite kommen, wo deine Behauptung steht. Dafür musst du hier einfach nur Bruchrechnen machen:

\(\frac{1-(0,5)^{n+1}}{0,5}+(0,5)^{n+1}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{\frac{1}{2}}+(\frac{1}{2})^{n+1}\\=2\cdot (1-\frac{1}{2^{n+1}})+\frac{1}{2^{n+1}}=2-\frac{2}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}\\=2-\frac{1}{2^{n+1}}=2\cdot(1-\frac{1}{2^{n+2}})\\=\frac{1-\frac{1}{2^{n+2}}}{\frac{1}{2}}=\frac{1-(0,5)^{n+2}}{0,5}\)

Comments

Was fehlt ist der Anfang, 1= (1-0,5)/0,5 =0,5/0,5 =1
Damit ist die Vollständige Induktion erst vollständig.
Es wurde alles gezeigt, was notwendig ist.
Nur die Aufgabe wurde falsch gestellt, es ist nicht so, dass die Annahme auch für A(n)=n+1 gelten muss, sondern die Annahme für A(n) muss auch für A(n+1) gelten. Aber wie gesagt muss auch A(1) richtig sein.