Lineare Algebra Aufgabe Uni-Niveau

Question

Aufgabe:

Seien v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, −1, 3), v3 = (1, 0, −1), w1 = (3, 0, 4)
und w2 = (0, 3, −1) in R³.

Zu beweisen ist:
(a) span(v1, v2) = span(w1, w2).
(b) span(v1, v3) = {(2a, a + b, 2b) | a, b ∈ R}

Problem/Ansatz:

Komme nicht weiter...

Answer 1

a) v1+v2=w1

2v1-v2=w2

Damit spannen v1 und v2 die gleiche Ebene auf wie w1 und w2.

b) r*v1+s*v2=(r+s, r, r-s)=(2a, a+b, 2b)

Nun muss doch gezeigt werden, dass es zu den beliebigen reellen Zahlen a und b eindeutige Werte für r und s gibt.

Damit ist r=a+b.

r+s=2a → a+b+s=2a → s=a-b

Die dritte Koordinate:

r-s==a+b-(a-b)=2b    stimmt!