Zeige, dass K unendlich ist. Uni-Niveau

Question

Aufgabe:

Sei K ein geordneter Körper. Zeige, dass K unendlich ist und
weiterhin, dass die Gleichung x² = −1 in K keine Lösung hat.

Answer 1

Es ist \(\sum\limits_{k=1}^n 1 < \sum\limits_{k=1}^{n+1} 1\) wegen Verträglichkeit der Ordnung mit der Addition. Wegen der Transitivität der Ordnung würde das zu einem Widerspruch führen, wenn K endlich ist.

Sei i eine Lösung der Gleichung x² = -1. Ist i < 0, dann ist i·i = -1 > 0. Gleiches gilt für den Fall i > 0. Und falls i = 0 ist, dann ist -1 = 0.