Berechnung bei Wahrscheinlichkeiten (binomial)

Question

Aufgabe:

Gustav und Sonja werfen je dreimal einen Ball nach dem Basketballkorb. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt erfahrungsgemäß bei Gustav 0,6, bei Sonja 0,7.

Berechne:

a) P(Gustav und Sonja erzielen gleich viele Treffer)

b) P(Gustav erzielt mehr Treffer als Sonja)

Answer 1

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeiten für genau $n$ Treffer bei Gustav sind:$$g(0)=\binom{3}{0}\cdot0,6^0\cdot0,4^3=0,064$$$$g(1)=\binom{3}{1}\cdot0,6^1\cdot0,4^2=0,288$$$$g(2)=\binom{3}{2}\cdot0,6^2\cdot0,4^1=0,432$$$$g(3)=\binom{3}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^0=0,216$$

Die Wahrscheinlichkeiten für genau $n$ Treffer bei Sonja sind:$$s(0)=\binom{3}{0}\cdot0,7^0\cdot0,3^3=0,027$$$$s(1)=\binom{3}{1}\cdot0,7^1\cdot0,3^2=0,189$$$$s(2)=\binom{3}{2}\cdot0,7^2\cdot0,3^1=0,441$$$$s(3)=\binom{3}{3}\cdot0,7^3\cdot0,3^0=0,343$$

Da die Ergebnisse von Gustav die von Sonja nicht beeinflussen und umgekehrt die von Sonja nicht die von Gustav beeinflussen, können wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und erhalten folgende Tabelle:$$\begin{array}{r}& \text{g(0)}\atop{0,064} & \text{g(1)}\atop{0,288} & \text{g(2)}\atop{0,432} & \text{g(3)}\atop{0,216}\\\hline \text{s(0)}\atop{0,027}& \frac{1\,728}{1\,000\,000}& \frac{7\,776}{1\,000\,000} & \frac{11\,664}{1\,000\,000} & \frac{5\,832}{1\,000\,000}\\\text{s(1)}\atop{0,189}& \frac{12\,096}{1\,000\,000}& \frac{54\,432}{1\,000\,000} & \frac{81\,648}{1\,000\,000} & \frac{40\,824}{1\,000\,000}\\ \text{s(2)}\atop{0,441}& \frac{28\,224}{1\,000\,000}& \frac{127\,008}{1\,000\,000} & \frac{190\,512}{1\,000\,000} & \frac{95\,256}{1\,000\,000}\\ \text{s(3)}\atop{0,343}& \frac{21\,952}{1\,000\,000}& \frac{98\,784}{1\,000\,000} & \frac{148\,176}{1\,000\,000} & \frac{74\,088}{1\,000\,000}\end{array}$$

a) P(Gustav und Sonja erzielen gleich viele Treffer)

Das sind die Werte auf der Hauptdiagonalen. Wir addieren die Einzelwahrscheinlichkeiten:$$p_a=\frac{1\,728+54\,432+190\,512+74\,088}{1\,000\,000}=\frac{320\,760}{1\,000\,000}=32,076\%$$

b) P(Gustav erzielt mehr Treffer als Sonja)

Das sind die Werte oberhalb der Hauptdiagonalen:$$p_b=\frac{7\,776+11\,664+5\,832+81\,648+40\,824+95\,256}{1\,000\,000}=\frac{243\,000}{1\,000\,000}=24,3\%$$

Answer 2

Das löst man mit einem Baumdiagramm mit sechs Ebenen, nicht mit der Binomialverteilung.

Comments

Ich hätte sowohl für Gustav als auch für Sonja eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Binomialverteilung gemacht und dann hätte ich damit weitergerechnet.

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Wegen der stochastischen Unabhängigkeit geht das wohl auch.

Answer 3

Mach zunächst mal für Gustav und Sonja eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl an Treffern.