Ist ab immer irrational, wenn a und b positiv und irrational sind?

Question

wir haben gerade diskutiert, ob a^b immer irrational ist, wenn a und b positive irrational sind.

Vom Bauchgefühl her ist das so, aber kann man das irgendwie beweisen?

Danke für jede Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Vorsicht mit dem "Bauchgefühl"...

Wir wissen, dass $\sqrt2$ irrational ist. Daher erfüllt die Wahl $a=\sqrt2$ und $b=\sqrt2$ die Voraussetzungen. Da wir nicht wissen, ob $a^b=\sqrt2^{\sqrt2}$ rational oder irrational ist, machen wir eine Fallunterscheidung:

1. Fall $a^b=\sqrt2^{\sqrt2}\in\mathbb Q$ ist rational.

Wir haben ein Gegenbeispiel für die Behauptung gefunden.

2. Fall $a^b=\sqrt2^{\sqrt2}\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ ist irrational.

Da nach Voraussetzung $\sqrt2^{\sqrt2}$ irrational ist, können wir $\tilde a=\sqrt2^{\sqrt2}$ und $b=\sqrt2$ wählen:
$$\tilde a^b=\left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2}=\sqrt2^{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\sqrt2\,^2=2\in\mathbb{Q}$$In beiden Fällen erhalten wir eine rationale Zahl als Gegenbeispiel.

Die Antwort auf deine Frage ist also: "Nein!".

Comments

Da habe ich doch noch etwas dazugelernt.

:-)

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Interessant ist das man noch nicht mal wissen muss, ob wurzel2 hoch wurzel2 rational oder irrational ist. Ich kann leider kein Daumen hoch geben, funktioniert nicht. Trotzdem vielen Dank!

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@HansDampf, das ist doch gerade das geniale an der Antwort. Wäre $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ rational, hättest du bereits die Frage beantwortet, indem du ein Gegenbeispiel lieferst. In jedem Fall, widerlegt seine Antwort deien Vermutung. Dass $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ irrational ist, ist aber bewiesen:https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gelfond-Schneider

Answer 2

Hallo,

es wird vermutet, dass $\pi^\pi$ oder $e^e$ irrational ist. Es scheint sinnvoll, dies zu vermuten, allerdings gab es dafür bisher noch keinen strengen Beweis. Deine Vermutung kann man allerdings leicht widerlegen (vgl. die Gelfond-Schneider-Konstante, die irrational ist und potenziere mit √2)