Zeige, dass σ eine dedekindsche Schnittmenge ist.

Question

Aufgabe:

Sei σ- ⊂ R und σ+ ⊂ R die Teilmengengen definiert durch:

σ- := {x∈ R: x<0 oder x^2<2}

σ+ := {x∈ R: x>0 und x^2>=2}

Ohne die Existenz von Wurzel 2 zeige, dass σ := (σ-,σ+) ein dedekindscher Schnitt ist.

Problem/Ansatz:

Muss ich als Beweis zeigen, dass 1. σ- und σ+ ungleich der leeren Menge ist, 2. Die Vereinigungsmenge von σ- und σ+ die Reelen Zahlen sind und 3. Für alle x ∈ σ- und y ∈ σ+ ist: x<y.

So wurde bei uns die dedekindsche Schnittmenge definiert. Allerdings habe ich mühe, dass zu beweisen. (Obwohl es mir klar erscheint.)