Suche Parameter a und c für f(x):= a sin(2x + c).

Question

Gegeben ist die auf \( \mathbf{R} \) definierte Funktion \( f: x \mapsto \operatorname{asin}(2 x+c) \)

a steht für eine beliebige, von 0 verschiedene reelle Zahl, c für eine reelle Zahl aus dem Intervall \( [0 ; \pi] \). Auf dem zugehörigen Graphen \( \mathrm{G}_{f} \) liegen die Punkte \( \mathrm{N}(0,75 \pi \mid 0) \) und \( \mathrm{P}\left(\frac{\pi}{6} \mid 1\right) \).

a) Bestimme die Parameter a und \( \mathbf{c} \)

b) Bestimme die Periode, die Wertemenge und die Nullstellen der Funktion f im Intervall \( [-\pi ; 2 \pi] \).

c) Zeichne den Graphen der Funktion \( \mathrm{fim} \) Bereich \( [-\pi ; 2 \pi] \).

d) Stelle den Funktionsterm von \( \mathrm{f} \) mithilfe des Kosinus dar.

Answer 1

Eine Einführung zur Sinusfunktion findest du im Video hier: https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

Danach kannst du zumindest die Frage b) teilweise beantworten:

Die Periodenlänge von f ist π.

Der Wertebereich [-|a|,|a|].

Bei a) musst du die beiden Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen und dann die beiden Gleichungen nach den beiden Variabeln auflösen.

1.        0=a*sin(1.5π + c)

2.       1=a*sin(π/3 + c)

Wegen 1. Produkt ist 0, gilt a=0 oder sin(1.5π +c)=0

Wäre a=0 könnte 2. nicht erfüllt werden. Daher. sin(1.5π + c) = 0

Aus dem Video weiss man sin(2π) =0. Daher ist c=π/2 eine passende Lösung.

Nun damit in die 2. Gleichung.

1 = a*sin(π/3 + π/2) = a*sin(5π/6)

1/sin(5π/6) = a = 1/(1/2) = 2

Somit ist f(x) = 2*sin(2x + π/2)

b) update:

Die Periodenlänge von f ist π.

Der Wertebereich [-2,2].

f(x) = 2*sin(2x + π/2) = 0

bereits bekannt ist die Nullstelle 0.75π.

Rechnung (wegen Video)

2x + π/2 = π ---> 2x = π/2 ----> x1 = π/4

2x+π/2 = 0 -> 2x = -π/2 ----> x2=-π/4

2x+π/2 = 2π → 2x=1.5π --> x3= 3π/4

Da die Periodenlänge π ist.    x4= 5π/4

x5= 7π/4

x6= -3π/4

c) Den Graphen siehst du hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+2*sin%282x+%2B+π%2F2%29+ 

Du musst ihn einfach noch nach rechts verlängern bis x=2π

d) f(x) = 2*cos(2x)

Grund: Wie im Video ersichtlich ist sin(A + π/2) = cos(A) allgemeingültig.

Comments

Was ist den x1 und x2 und so weiter also was stellt das da ( bei b nullstellen)

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x1, x2... sind 'alle' Nullstellen von f(x) = 2*sin(2x + π/2) = 0