Ist f(x)= x3/|x| an 0 differenzierbar?

Question

Aufgabe:

^{Ist f(x) an der Angegebenen Stelle differenzierbar? Warum schon/nicht?}

           x³/|x| , x ≠ 0

f(x)= {                     ,x₀=0

            0, x=0

( Die geschwungene Klammer sollte alles umfassen)

Ich verstehe die angegebene Darstellung nicht wirklich. Wenn ich richtig liege, dann ist f(x) nicht differentierbar weil ja x in 0 nicht definiert ist?

Comments

Man könnte die Funktion auch ohne Fallunterscheidung schreiben:

f(x) = x * |x|

Das passt dann für alle  x∈ℝ .

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Wieso ist f(0) nicht definiert?

Wenn ich das richtig interpretiere, haben sie doch, genau wie ich es getan habe, gesagt, dass f(0)=0

Answer 1

Tipp:

Für \(x<0\) wird die Funktion beschrieben durch \(y=-x^2\) und für \(x>0\) durch \(y=x^2\). Für \(x=0\) durch \(y=0\).

Comments

Tut mir leid, aber ich verstehe nicht worauf sie hinaus wollen? ich verstehe die notation selbst ja nicht wirklich... :(

Danke trotzdem

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Das ist eine abschnittsweise definierte Funktion:$$f(x)=\begin{cases}\frac{x^3}{|x|}, \quad x\neq 0 \\ 0 ,\quad \, \, \, \,x=0\end{cases}$$ bedeutet, dass du für alle \(x\), die ungleich Null sind den oberen Ausdruck nutzt und für den Spezialfall, dass \(x=0\) den unteren Ausdruck nutzt. Ich habe darauf hingewiesen, dass du die Funktion auch so schreiben kannst$$f(x)=\begin{cases}x^2,\quad x>0 \\ -x^2,\, \, x<0 \\ 0, \quad \, \, \, \,x=0 \end{cases}$$

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Achso, jetzt verstehe ich. Vielen Dank :)

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Habe es schon gelesen: Oh je, oh je, keine Sternstunde des Abakus.

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Nee, wirklich nicht. Ich hätte mir etwas mehr Mühe geben müssen, die Fragestellung, z.B.

( Die geschwungene Klammer sollte alles umfassen)

zu erfassen. Ja, du hattest recht, es war doch eine abschnittsweise (und eben auch bei 0 definierte) Funktion.

Answer 2

Aus meiner Sicht spricht nichts dagegen,

f(0) =0 zu definieren , dann

wird f(x) = - x^2 für x <0

f(x)=0  für x=0

f(x) = x^2 für x>0

f'(0)=0, was wollen wir mehr?

f'(x)=2x für x>0

f'(x)= -2x für x<0

Links seitiger Grenzwert der Steigung entspricht dann dem rechtsseitigem.

Also ist dann alles in Ordnung.

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