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Moin!

Ich hätte da folgende Frage, an der mir (wie so häufig :D) der Ansatz fehlt.

Gegeben ist die Folge $$p^4-1;p \geq 5 ; \text{p Primzahl}$$ Ich vermute, dass $$p^4-1$$ immer durch 48 teilbar ist. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!  

mfg legendär
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Kommst du mit der Zerlegung

p^4 -1 = (p^2 + 1)(p^2 - 1) = (p^2+1)(p-1)(p+1)

schon zu deiner Behauptung? Bis jetzt hat man 3 verschiedene gerade Faktoren. von denen sich 2 lediglich um 2 unterscheiden.

Möglicherweise kannst du einen Induktionsbeweis p -> p+2 führen.
Nein, nicht ganz. Da alle drei Faktoren gerade sind, ist a_n (=p^4 - 1) schonmal durch 8 teilbar...
8*6 = 48. Vermutlich ist p^2 + 1 teilbar durch 6... Ist das ein richtiger Gedankenweg oder weit am Ziel vorbei?

Stimmt das nur für Primzahlen oder für beliebige ungerade p?

a_p (=p4 - 1)

Induktionsbeweis ginge ja nur, mit einem Schritt von p --> p+2.

2 gerade Zahlen nacheinander: da ist eine sogar durch 4 teilbar. Daher (p+1)(p-1) durch 8 teilbar. Dann noch (p^2 + 1) gerade. Also ist die Zahl schon mal sicher durch 16 teilbar. Jetzt müsste man nur noch begründen, warum einer der 3 Faktoren durch 3 teilbar sein muss. Bei 3 aufeinanderfolgenden geraden Zahlen wäre das klar. Aber so wie hier?

Hatte eben den Induktionsvorschlag überlesen^^ Ich zeig mal meine Rechnung:

I.A.: p=5: a_1 = 624 ; 48 | 624

I.V.: 48 | (p^2+1)(p-1)(p+1)

I.S.: (p+2)^4-1 = (p^2 + 4p + 5)(p+1)(p+2) = ((p^2 - 1) + 4p + 6)(p+1)(p+2)
Jetzt müsste ich nur irgendwie noch (p^2 - 1) als Faktor in den Term bringen..?
Sehe gerade, dass das sicher nicht bei allen ungeraden Zahlen stimmt: Es kommt 80 als Wert vor.

(2n+1)^4 -1 in WolframAlpha eingegeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282n%2B1%29%5E4+-1

Darum kann die vorgeschlagene Induktion gar nicht klappen.

Induktion

vielleicht doppelt verankern und dann Schritt

von p --> p+6
und von p+2→p+8

Da jede 3. ungerade Zahl durch 3 teilbar ist und somit keine Primzahl.

Für p≥5 gilt:

p = 6n ± 1

2 Antworten

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Beste Antwort


die Aussage lässt sich aufgrund der Zerlegung

\( p^4 - 1 = ( p^2 +1 ) (p^2-1)  \)

verstehen.

Für das existierende \( q \) mit \( p = 2q +1 \) gilt

\( p^2 + 1 = 4 (q^2 + q) + 2 \),

\( p^2 - 1 = 4 (q^2 + q) \),

Schließlich ist

\( (p^2 +1)(p^2 -1) = 16 (q^2 + q)^2 + 8 (q^2 + q) \)

oder mit \( q^2 + q = 2 z \), denn \( q^2 + q\) ist immer gerade, gilt

\( (p^2 +1)(p^2 -1) = 16 (2z)^2 + 8 (2z) = 16 ( 4 z^2 + z) \).

Das heißt, \((p^2 +1)(p^2 -1) \) ist durch \( 16 \) teilbar.

Gleichzeitig haben wir mit \( ( p^2 +1 ) (p^2-1) \) das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger von \( p^2 \). Da für eine Zahl, die selbst nicht durch \( 3 \) teilbar ist, immer entweder ihr Vorgänger oder ihr Nachfolger durch \( 3 \) teilbar ist, folgt die Behauptung:

\( p^4 - 1 \) ist durch \( 3 \cdot 16 = 48 \) teilbar.

Für die Aussage müssen wir also voraussetzen: \( p \) ist weder durch \( 2 \) noch durch \( 3 \) teilbar. \( p \) muss keine Primzahl sein.

MfG

Mister
Avatar von 8,9 k

 das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger von p^2. Da für eine Zahl p^2 immer entweder ihr Vorgänger oder ihr Nachfolger durch 3 teilbar ist.

Das stimmt tatsächlich, weil p^2 selbst ja nicht durch 3 teilbar ist.

PS: Findet den Fehler: \( p = 9 \) erfüllt die Voraussetzung, aber \( 9^4 - 1 \) ist nicht durch 48 teilbar.
Lu hat den Fehler gefunden: Die Zahl p darf weder durch 2 noch durch 3 teilbar sein. Dies gilt für alle Primzahlen, aber darüber hinaus auch zum Beispiel für 25, 49, 55, 85 und weitere ("weitere" = unendlich viele). Antwort editet.
Aber 9 ist keine Primahl. In der Aufgabe jedoch geht es ausschließlich um Primzahlen größer 3.Vielen Dank für die Antwort Mister!

mfg legendär
Bitte. Die Aussage gilt für alle Zahlen, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind. Es handelt sich daher nicht um eine exklusive Primzahleigenschaft. 9 ist durch 3 teilbar.
Ja, stimmt auch.
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Für p = 6n ± 1 ergibt sich tatsächlich der Faktor 3. (versteckt dort in der 24)

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%286n-1%29%5E4+-1

Du kannst also einfach ausmultiplizieren und dann 3 ausklammern, nachdem wir den Faktor 16 ja schon haben.
Avatar von 162 k 🚀

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