Aufleitung f(x)= 30*cos((pi/4)x+pi

Question

Aufgabe:

Stammfunktion von:

$f(x)=30 * \cos \left(\frac{\pi}{4} x\right)+\pi$

Problem/Ansatz:

$F(x)=\frac{\pi}{8} x^{2} * 30 * \sin \left(\frac{\pi}{4} x\right)+\pi x$

Das Problem liegt bei den $$\frac{π}{4}x$$

Ich muss diese ja "Aufleitung" und vor die Funktion Multiplizieren. Ist das korrekt?

Answer 1

Hallo,

es gilt die Rechenregel für die "lineare Substitution":$$\int f(ax+b) \, \text{d}x=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$$ D. h., dass du den Kehrwert von $\frac{\pi}{4}$ als Vorfaktor verwendest.$$\int 30\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)+\pi \, \text{d}x=30\cdot \color{red}{\frac{4}{\pi}}\cdot \sin \left(\frac{\pi}{4}x\right)+\pi x+C$$

Comments

Ok.

Dann wird $$\frac{π}{4}x$$ zu $$\frac{4}{pi}$$

Und wird dann $$20x^{5}$$ zu $$\frac{1}{20}$$ oder zu $$\frac{1}{20x^{4}}$$

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Ich habe mittlerweile der Antwort mehr Inhalt verschafft - schau mal, ob du verstehst, was ich geschrieben habe.

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Dann hat das nicht mit der Ableitung zu tun? Dann Würde wir also bei $$cos(\frac{30}{1}x^{3}+10)$$

Einfach $$1/30$$ als Vorfaktor verwenden?

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Nein, das gilt nur für lineare Terme, also für $f(ax+b)$.

In deinem Beispiel:

$f(x)=30\cos(x)+\pi$

$f(\pi/4\cdot x +0)=30\cos(\pi/4\cdot x)+\pi$

Du hast aber einen kubischen Term in deiner Klammer. Dann gilt das nicht mehr.

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"Nein, das gilt nur für lineare Terme, also für f(ax+b)."

Danke dir. Habe es verstanden. Danke dir.

Aber eine frage: Was wenn wir dann keinen Linearen Term haben, sondern=

2x²-2x

Bilden wir dann davon die Ableitung= 4x-2

Und nutzen dann den Kehrwert= 1/(4x-2) ?

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Nein, das wäre schön, ist aber nicht so. Du kannst aber i. d. R. akademische Beispiele oftmals mit der Integration durch Substitution lösen. (Die lineare Substitution ist ein Spezialfall dieser Technik)

Answer 2

F(x) = 30* 4/π *sin(π/4*x) +π*x = 120/π* sin(π/4*x) +π*x

π kann man noch ausklammern.